P3 第七章：积分

• 积分 $\tan^2 x$：利用 $1 + \tan^2 x \equiv \sec^2 x$ 转化为 $\sec^2 x - 1$。
• 积分 $\sin^2 x$ 或 $\cos^2 x$：利用二倍角公式 $\cos 2A \equiv 1 - 2\sin^2 A \equiv 2\cos^2 A - 1$ 进行降次。

若分子是分母的导数（或其倍数），即 $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| + c$

$\int f'(x)[f(x)]^n dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + c$

题目：已知 $g(x) = \frac{2x^2 - 5x + 8}{x - 2}$。

(a) 将其化为 $Ax + B + \frac{C}{x-2}$ 的形式。

(b) 求 $\int_4^8 g(x) dx$ 的精确值。

1. 第一步（代数转换）：通过长除法得到 $g(x) = 2x - 1 + \frac{6}{x-2}$。
2. 第二步（积分）：对每一项单独积分：
   • $\int (2x - 1) dx = x^2 - x$。
   • $\int \frac{6}{x-2} dx = 6\ln |x-2|$。
3. 第三步（代入上下限）：
   • 上限 $x=8$：$(8^2 - 8) + 6\ln(8-2) = 56 + 6\ln 6$。
   • 下限 $x=4$：$(4^2 - 4) + 6\ln(4-2) = 12 + 6\ln 2$。
4. 最终化简：$(56 - 12) + 6(\ln 6 - \ln 2) = 44 + 6\ln 3$。

题目：利用 $\cos 2A \equiv 2\cos^2 A - 1$，求 $\int_{\pi/12}^{\pi/8} (5 + 4\cos^2 3x) dx$ 的精确值。

1. 转换表达式：由恒等式知 $4\cos^2 3x = 2(2\cos^2 3x) = 2(\cos 6x + 1) = 2\cos 6x + 2$。
2. 整理待积式：原式变为 $\int_{\pi/12}^{\pi/8} (5 + 2\cos 6x + 2) dx = \int_{\pi/12}^{\pi/8} (7 + 2\cos 6x) dx$。
3. 执行积分：$[7x + \frac{2}{6}\sin 6x]_{\pi/12}^{\pi/8} = [7x + \frac{1}{3}\sin 6x]_{\pi/12}^{\pi/8}$。
4. 求精确值：
   • 代入 $\frac{\pi}{8}$：$7(\frac{\pi}{8}) + \frac{1}{3}\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{7\pi}{8} + \frac{1}{3}(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{7\pi}{8} + \frac{\sqrt{2}}{6}$。
   • 代入 $\frac{\pi}{12}$：$7(\frac{\pi}{12}) + \frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{7\pi}{12} + \frac{1}{3}$。
5. 结果：$\frac{7\pi}{24} + \frac{\sqrt{2}}{6} - \frac{1}{3}$（根据题目要求进一步合并）。

题目：已知 $\frac{4x^4 + 2x^2 + 3x + 8}{x^2 + 2} \equiv Ax^2 + B + \frac{Cx + D}{x^2 + 2}$，求 $\int_1^4 f(x) dx$。

1. 长除法结果：$A=4, B=-6, C=3, D=20$（注意：若题目要求证明 $D=0$ 则按此逻辑处理，此处为常规长除法示例）。
2. 构造积分式：$\int (4x^2 - 6 + \frac{3x + 20}{x^2 + 2}) dx$。
3. 核心技巧（拆分分式）：$\frac{3x+20}{x^2+2} = \frac{3x}{x^2+2} + \frac{20}{x^2+2}$：
   • $\int \frac{3x}{x^2+2} dx$ 使用 $\ln$ 公式：$\frac{3}{2} \ln(x^2+2)$。
   • $\int \frac{20}{x^2+2} dx$ 涉及 $\arctan$（属于 P4 或进阶考查，在 P3 中通常通过令 $D=0$ 避开或给出提示）。
4. 注意点：在 2025 年真题中，证明 $D=0$ 是关键，使分式变为 $\frac{Cx}{x^2+k}$ 形式，从而可以直接积分为 $\frac{C}{2}\ln(x^2+k)$。