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P3 第三章：三角函数
Trigonometric Functions
P3 的重难点章节
本章涉及三个新的倒数三角函数 $\sec x, \csc x, \cot x$，还包含了反三角函数的定义域与值域。这些内容通常与第六章的微积分密切结合。
核心知识点梳理
1.1 倒数三角函数 (Reciprocal Trig Functions)
定义
- $\sec x = \frac{1}{\cos x}$（在 $\cos x = 0$ 处无意义）。
- $\csc x = \frac{1}{\sin x}$（在 $\sin x = 0$ 处无意义）。
- $\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}$（在 $\tan x = 0$ 处无意义）。
1.2 反三角函数 (Inverse Trig Functions)
- $\arcsin x$：定义域 $[-1, 1]$，值域 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。
- $\arccos x$：定义域 $[-1, 1]$，值域 $[0, \pi]$。
- $\arctan x$：定义域 $x \in \mathbb{R}$，值域 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。
⚠️ 注意
考试常考反函数图像的绘制，需牢记渐近线位置（尤其是 $\arctan x$ 的 $y = \pm\frac{\pi}{2}$）。
历年真题全解析 (Step-by-Step)
【真题 1】2023年6月 WMA13/01, Q5(i) (基础方程)
题目：解方程 $3\sec 2x + 3 = 0$，范围 $0 < x < \pi$。
分步解答过程
- 化简倒数：$3\sec 2x = -3 \Rightarrow \sec 2x = -1$。
- 转换为基本函数：$\frac{1}{\cos 2x} = -1 \Rightarrow \cos 2x = -1$。
- 求出 $2x$：在指定范围内，$\cos \theta = -1$ 的解为 $\theta = \pi$。
- 得出结论：$2x = \pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$。
【真题 2】2024年10月 WMA13/01, Q1 (二次项方程)
题目：解方程 $3\tan^2 \theta + 7\sec \theta - 3 = 0$，范围 $0 < \theta \le 360^\circ$。
分步解答过程
- 统一函数类型：利用 $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$，将 $\tan^2 \theta$ 替换为 $(\sec^2 \theta - 1)$。
- 构建二次方程：$3(\sec^2 \theta - 1) + 7\sec \theta - 3 = 0 \Rightarrow 3\sec^2 \theta + 7\sec \theta - 6 = 0$。
- 因式分解：$(3\sec \theta - 2)(\sec \theta + 3) = 0$。
- 分情况讨论：
- $\sec \theta = \frac{2}{3} \Rightarrow \cos \theta = 1.5$（无解，因为 $|\cos \theta| \le 1$）。
- $\sec \theta = -3 \Rightarrow \cos \theta = -\frac{1}{3}$。
- 计算角度：$\theta = \arccos(-\frac{1}{3}) \approx 109.5^\circ$ 或 $360^\circ - 109.5^\circ = 250.5^\circ$。
【真题 3】2025年1月 WMA13/01, Q8(i) (综合考查)
题目：解方程 $3\csc \theta = 8\cos \theta$，范围 $0 < \theta < \pi$。
分步解答过程
- 转换倒数：$\frac{3}{\sin \theta} = 8\cos \theta$。
- 交叉相乘：$3 = 8\sin \theta \cos \theta$。
- 利用二倍角公式（跨章节衔接）：$3 = 4(2\sin \theta \cos \theta) \Rightarrow 3 = 4\sin 2\theta$。
- 解正弦方程：$\sin 2\theta = 0.75$。
- 求出解：$2\theta = \arcsin(0.75) \approx 0.848, 2.293 \Rightarrow \theta \approx 0.424, 1.15$。
考前一周：解题套路总结
- "无脑"变回 $\sin/\cos$：如果在证明题或方程题中看到 $\sec, \csc, \cot$ 感到混乱，第一时间把它们全部换成 $\sin$ 和 $\cos$ 的形式，通常分母通分后答案就出来了。
- 判别式检查：解三角二次方程（如 $\sec \theta$ 的方程）后，得到的值如果 $|\cos \theta| > 1$ 或 $|\sin \theta| > 1$，务必舍去，这是考试的常见陷阱。
- 反函数的"镜像"特征：
- 如果题目要求 $y = \arcsin x$ 的图像，先画出 $y = \sin x$（$-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 段），然后关于 $y = x$ 对称翻折。
- $f^{-1}$ 的定义域永远是 $f$ 的值域。对于反三角函数，这意味着输入值必须在 $[-1, 1]$ 之间（$\arctan$ 除外）。
- 弧度与角度切换：这是 P3 丢分最多的地方！
- 如果题目范围内有 $\pi$（如 $0 < x < 2\pi$），计算器务必调至 RAD。
- 如果有度数符号（如 $360^\circ$），计算器务必调至 DEG。
💡 理解小贴士
倒数函数就像是三角函数的"影子"：
$\cos$ 变小时，它的影子 $\sec$ 就会变得无限大（渐近线）。在考试中，处理这些"影子"最好的办法就是把它们拉回到"本体"（$\sin$ 和 $\cos$）的世界。