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P3 第五章：指数与对数
Exponentials and Logarithms
建模分析与非线性数据处理的核心章节
本章在 P3 考试中通常以建模分析 (Modelling) 或非线性数据处理 (Non-linear Data) 的形式出现，且经常与第六章的微积分结合，考查增长率或衰减率。
核心知识点梳理
1.1 指数函数与 $e$
- 指数函数图像：$y = a^x$ 的图像总是经过 $(0, 1)$ 点，且当 $a > 1$ 时为增函数，当 $0 < a < 1$ 时为减函数。
- 自然指数 $e$：自然对数的底数 $e \approx 2.718$。函数 $y = e^x$ 的导数依然是 $e^x$。
- 渐近线：对于 $y = e^{ax+b} + c$，其水平渐近线方程为 $y = c$。
1.2 自然对数 $\ln x$
- 定义：$\ln x$ 是 $e^x$ 的反函数，图像关于 $y = x$ 对称，定义域为 $x > 0$。
- 反函数关系：$e^{\ln x} = x$ 且 $\ln(e^x) = x$。
1.3 非线性数据处理 (对数线性化)
这是 P3 的高频考点，要求将非线性方程转化为直线方程 $Y = MX + C$
- 类型 1：$y = ax^n$（幂函数）$\Rightarrow \log y = \log a + n \log x$。此时图像是 $\log y$ 对 $\log x$ 的直线，斜率为 $n$，截距为 $\log a$。
- 类型 2：$y = ab^x$（指数增长）$\Rightarrow \log y = \log a + x \log b$。此时图像是 $\log y$ 对 $x$ 的直线，斜率为 $\log b$，截距为 $\log a$。
历年真题全解析 (Step-by-Step)
【真题 1】2024年6月 WMA13/01, Q3 (非线性数据转换)
题目：已知变量 $x, y$ 满足 $y = 10x^{-0.6}$，要求画出 $\log_{10} y$ 对 $\log_{10} x$ 的图像并标出截距。
分步解答过程
- 取对数：$\log_{10} y = \log_{10} (10x^{-0.6})$。
- 展开等式：利用对数运算法则得 $\log_{10} y = \log_{10} 10 + \log_{10} x^{-0.6} \Rightarrow \log_{10} y = 1 - 0.6 \log_{10} x$。
- 确定坐标轴交点：
- 当 $\log_{10} x = 0$ 时，$\log_{10} y = 1$，交点为 $(0, 1)$。
- 当 $\log_{10} y = 0$ 时，$0 = 1 - 0.6 \log_{10} x \Rightarrow \log_{10} x = 1/0.6 \approx 1.67$，交点为 $(1.67, 0)$。
- 画图：画出一条斜率为负的直线，连接上述两点。
【真题 2】2023年6月 WMA13/01, Q7 (细菌建模与增长率)
题目：第一种细菌数量 $N = Ae^{kt}$。已知初始数量 2500，8小时后为 10000。
(a) 求 $A$ 的精确值和 $k$ 的 4 位有效数字。
(b) 若第二种细菌数量 $N = 60000e^{-0.6t}$，求 $t=5$ 时的减少率。
分步解答过程
- (a) 求常数：
- 当 $t=0, N=2500$ 时，$2500 = Ae^{0} \Rightarrow A = 2500$。
- 当 $t=8, N=10000$ 时，$10000 = 2500e^{8k} \Rightarrow 4 = e^{8k}$。
- 解出 $k$：$8k = \ln 4 \Rightarrow k = \frac{1}{8} \ln 4 \approx \mathbf{0.1733}$。
- (b) 求变化率：
- 对 $N = 60000e^{-0.6t}$ 求导：$\frac{dN}{dt} = 60000 \times (-0.6)e^{-0.6t} = -36000e^{-0.6t}$。
- 代入 $t=5$：$\frac{dN}{dt} = -36000e^{-3} \approx -1792$。
- 结论：减少率为 1790 (3 s.f.)。
【真题 3】2023年10月 WMA13/01, Q6 (模型解释)
题目：珊瑚礁面积模型 $\log_{10} S = 4.5 - 0.006t$，化简为 $S = pq^t$ 形式并解释 $q$ 的含义。
分步解答过程
- 去对数：$S = 10^{4.5 - 0.006t} = 10^{4.5} \times (10^{-0.006})^t$。
- 计算常数：$p = 10^{4.5} \approx 31600$，$q = 10^{-0.006} \approx \mathbf{0.986}$。
- 解释 $q$ 的含义：$q$ 代表每年珊瑚礁面积保留的比例（或每年减少约 1.4%）。
考前一周：解题套路总结
- 区分两种对数图：
- 如果双轴都是 $\log$（$\log y$ vs $\log x$），原方程是幂函数 $y=ax^n$。
- 如果只有纵轴是 $\log$（$\log y$ vs $x$），原方程是指数函数 $y=ab^x$。
- 建模题的"初始值"：看到"start of the study"或"initially"，立即令 $t = 0$。
- 变化率 = 求导：只要题目问"rate of increase/decrease"，必须先求导再代入时间 $t$。
- 计算器陷阱：在解指数方程（如 $e^{kt}=4$）时，必须先通过除法孤立指数项，再两边取 $\ln$。切记不能在有加减法的情况下直接取 $\ln$。
💡 理解小贴士
对数就像是指数函数的"倒车雷达"：
指数函数 $e^x$ 跑得飞快，能让数值瞬间变得巨大。当你需要从巨大的数值中找回那个原本很小的时间 $t$ 时，你就需要自然对数 $\ln$ 这台"倒车影像仪"来帮你精准定位。在处理非线性数据时，取对数就像是把一条冲向天空的曲线强行拉平，变成我们最熟悉的直线。