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P3 第六章：微分
Differentiation
本章是 P3 的核心，分值占比极大
考试不仅要求熟练运用各种微分规则，还经常要求将导数与驻点 (Stationary Points)、切线与法线 (Tangents and Normals) 以及证明函数单调性结合考察。
1. 核心知识点梳理
1.1 基础函数求导
三角函数
- $\frac{d}{dx}(\sin kx) = k\cos kx$
- $\frac{d}{dx}(\cos kx) = -k\sin kx$
倒数三角函数
- $\frac{d}{dx}(\tan kx) = k\sec^2 kx$
- $\frac{d}{dx}(\sec kx) = k\sec kx \tan kx$
- $\frac{d}{dx}(\csc kx) = -k\csc kx \cot kx$
- $\frac{d}{dx}(\cot kx) = -k\csc^2 kx$
指数与对数
- $\frac{d}{dx}(e^{kx}) = ke^{kx}$
- $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$
反三角函数
- $\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}$
1.2 三大核心法则
链式法则 (Chain Rule)
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$
乘积法则 (Product Rule)
若 $y = uv$，则 $\frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$
商法则 (Quotient Rule)
若 $y = \frac{u}{v}$，则 $\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$
2. 历年真题全解析 (Step-by-Step)
【真题 1】复合函数求导 (June 2023 WMA13/01, Q3)
题目：求 $\frac{d}{dx} \ln(\sin^2 3x)$ 的最简形式。
分步解答过程
- 化简对数（重要技巧）：利用对数性质 $\ln(a^n) = n\ln a$，原式可写为 $2\ln(\sin 3x)$。
- 运用链式法则：
- 外层微分：$\frac{2}{\sin 3x}$。
- 内层微分：$\frac{d}{dx}(\sin 3x) = 3\cos 3x$。
- 组合结果：$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sin 3x} \times 3\cos 3x = 6\frac{\cos 3x}{\sin 3x}$。
- 写成三角形式：结果为 $6\cot 3x$。
【真题 2】乘积法则与驻点 (June 2023 WMA13/01, Q8)
题目：已知 $f(x) = (2x + 1)^3 e^{-4x}$，求其驻点的精确坐标。
分步解答过程
- 运用乘积法则：设 $u = (2x+1)^3, v = e^{-4x}$。
- $\frac{du}{dx} = 3(2x+1)^2 \times 2 = 6(2x+1)^2$。
- $\frac{dv}{dx} = -4e^{-4x}$。
- 列出 $f'(x)$：$f'(x) = 6(2x+1)^2 e^{-4x} + (2x+1)^3 (-4e^{-4x})$。
- 提取公因式（关键步骤）：$f'(x) = 2(2x+1)^2 e^{-4x} [3 - 2(2x+1)] = 2(2x+1)^2 e^{-4x} (1 - 4x)$。
- 令 $f'(x) = 0$：
- $2x+1 = 0 \Rightarrow x = -0.5$。
- $1-4x = 0 \Rightarrow x = 0.25$。
- 求 $y$ 坐标：代入原式得驻点为 $(-0.5, 0)$ 和 $(0.25, \frac{27}{8e})$。
【真题 3】隐函数微分思想 (June 2024 WMA13/01, Q9)
题目：已知 $x = 4\sin^2 y - 1$，求 $\frac{dy}{dx}$。
分步解答过程
- 直接对 $y$ 求导：$\frac{dx}{dy} = 4 \times 2\sin y \cos y = 8\sin y \cos y$。
- 转换到 $x$：利用 $\frac{dy}{dx} = 1 / \frac{dx}{dy}$。
- 代换三角项：
- 由原题知 $\sin^2 y = \frac{x+1}{4} \Rightarrow \sin y = \frac{\sqrt{x+1}}{2}$。
- 由 $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$ 推出 $\cos y = \sqrt{1 - \frac{x+1}{4}} = \frac{\sqrt{3-x}}{2}$。
- 最终形式：$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{8(\frac{\sqrt{x+1}}{2})(\frac{\sqrt{3-x}}{2})} =$ $\frac{1}{2\sqrt{(x+1)(3-x)}}$。
3. 考前一周：解题套路总结
- "看到 $\ln$ 先化简"：如果 $\ln$ 后面跟着次方、乘法或除法，先用对数律拆解再微分，能避免复杂的链式法则嵌套。
- 驻点计算必 factorise：在求驻点坐标时，微分后的表达式一定要进行因式分解（通常提取 $e^{kx}$ 或多项式项），否则很难解出 $x$。
- 商法则的"减法顺序"：记住公式分子是 $vu' - uv'$，顺序不能颠倒。考试中如果记不清，可以把分式写成 $u \cdot v^{-1}$ 改用乘积法则。
- 证明增/减函数：
- Increasing：证明 $f'(x) > 0$（通常通过平方项如 $(2x+1)^2$ 永远非负来证明）。
- Decreasing：证明 $f'(x) < 0$。
- 弧度制陷阱：在计算涉及三角函数的导数数值（如求切线斜率）时，计算器必须处于 RAD 模式。
💡 理解小贴士
微分法则是你的"拆解工具箱"：
- 链式法则像拆俄罗斯套娃，从外往里一层层拆。
- 乘积法则像是在处理一对跳舞的搭档，一个人动（求导）时另一个人静止（保持原样）。
- 商法则则像是在处理一场由于"分母"太强势而略显复杂的协作。