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International Advanced Level

Pure Mathematics P4

模拟测验卷

(根据历年真题及复习手册编撰)

时间：1 小时 30 分钟

总分：75 分

考生注意事项

必须展示所有计算阶段。完全依赖计算技术的解法（如直接使用计算器的积分或导数功能）将不予评分。
若无特殊说明，非精确答案应保留至 三位有效数字。
涉及三角函数的微积分运算，计算器必须锁定在 RAD (弧度制) 模式。

第一题：证明 (Proof)

利用反证法证明：若 $n^3$ 是偶数，则 $n$ 也是偶数（其中 $n$ 为正整数）。

(4 分)

💡 职业玩家的第一反应：

立即写下 "Assume that $n$ is odd" (即 $n = 2k+1$)。

🎴 反证法核心策略闪卡

策略一：逻辑起手式 (The Assumption)

看到 "Prove by contradiction" 题目的第一反应是什么？

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✅ 策略：立即假设结论的反面为真

在处理此题时，必须明确写下："Assume that $n$ is not even (i.e., $n$ is odd)"。

得分要点：这是获得第一分过程分的关键，必须在推导之前建立这个逻辑起点。

策略二：代数硬核推导 (The Deduction)

如何通过代数手段制造"矛盾"？

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✅ 策略：利用奇数定义进行全展开，严禁依赖计算器

令 $n = 2k + 1$（其中 $k$ 为整数）。
计算 $n^3 = (2k + 1)^3$ 并展示完整的展开过程：$8k^3 + 12k^2 + 6k + 1$。
整理形式：将其写成 $2(4k^3 + 6k^2 + 3k) + 1$，从而证明 $n^3$ 必为奇数。

得分要点：来源强调"完全依赖计算技术的解法不予接受"，必须写出所有代数阶段。

策略三：满分规范收尾 (The Conclusion)

证明完代数矛盾后，如何通过文字描述拿满最后 1 分？

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✅ 策略：套用"必背模板"进行逻辑闭环

在发现推导结果（$n^3$ 是奇数）与已知条件（$n^3$ 是偶数）冲突后，必须写下：

"This contradicts the given information that $n^3$ is even. Hence the assumption is false and $n$ must be even."

得分要点：必须明确声明"假设错误"且"原命题成立"，这是 P4 评分标准中的逻辑完整性要求。

💡 职业玩家提醒

在 P4 考场上，这类题目通常值 4 分。如果你跳过了第一步的 Assumption 或最后一步的 Conclusion，即便代数算得再完美，也只能拿到一半的分数。务必保持逻辑链条的完整性。

第二题：部分分式 (Partial Fractions)

已知 $f(x) = \frac{1-3x^2}{(1-3x)(1+2x)^2}$。

将 $f(x)$ 表达为如下形式的部分分式： $$\frac{A}{1-3x} + \frac{B}{1+2x} + \frac{C}{(1+2x)^2}$$ 其中 $A, B, C$ 为待定常数。

(4 分)

💡 职业玩家的第一反应：

检查分母是否有重复因子 $(1+2x)^2$，设定时绝不能漏掉一次项。

🎴 部分分式核心策略闪卡

策略一：模型设置（重复因子的"执念"）

在处理分母含有重复因子（如本题中的 $(1+2x)^2$）的部分分式设定时，职业玩家的第一反应是什么？

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✅ 策略：绝对不能漏掉一次项！

对于因子 $(ax+b)^2$，设定形式必须同时包含一次项和平方项： $$\frac{B}{1+2x} + \frac{C}{(1+2x)^2}$$

考场警示：来源强调，漏掉 $\frac{B}{1+2x}$ 是此类题目中最常见的"致命丢分点"，会导致后续积分或展开式陷入计算地狱。

策略二：计算策略（代入与对比的高效结合）

在得到恒等式 $1-3x^2 \equiv A(1+2x)^2 + B(1-3x)(1+2x) + C(1-3x)$ 后，如何最高效地求出 $A, B, C$？

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✅ 策略：使用"代入根值"+"回代 0 值"法

找根值：代入 $x = 1/3$ 迅速锁定 $A$；代入 $x = -1/2$ 迅速锁定 $C$。
锁定 B：由于根值已用完，职业玩家通常代入 $x = 0$ 或对比 $x^2$ 的系数（如本题中 $-3 = 4A - 6B$）来求出中间项 $B$。

这种方法比强行展开多项式列方程组快且准确。

得分要点：掌握根值代入法可以大幅提高计算速度和准确性。

策略三：考场复位（10秒自检保险）

在算出 $A, B, C$ 后，为了保住这关键的 4 分，职业玩家最后一步必做的操作是什么？

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✅ 策略：随手代入一个简单的 $x$ 值进行"复位检查"

将求得的系数填回部分分式，计算当 $x=0$ 时的数值，看其是否等于原式的数值（本题中原式 $f(0) = 1$）。

意义：这一步只需 10 秒，就能避免因为中间代数运算失误导致的连锁扣分（因为部分分式通常是为后续复杂的积分或二项式展开做铺垫的）。

💡 职业玩家提醒

在 P4 考场上，部分分式是"开门砖"。如果这一步算错，后面关联的题目（通常占 6-8 分）将无法获得准确值。请务必在练习时熟练掌握如 2024年1月 Q2(a) 等真题中的重复因子处理。

第三题：二项式展开 (Binomial Expansion)

(a) 求 $(4+5x)^{-1/2}$ 的前四项展开式，按 $x$ 的升序排列，并化简每一项的系数。 (5 分)

(b) 给出使该展开式有效的 $x$ 的取值范围。 (1 分)

💡 职业玩家的第一反应：

提取因子 $4^{-1/2}$ 使首项变为 1，且提取时绝不能漏掉幂次。

🎴 二项式展开核心策略闪卡

策略一：提取因子（"1的执念"）

面对形如 $(4+5x)^{-1/2}$ 的展开题目，职业玩家的第一反应是什么？

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✅ 策略：提取因子使首项变为 1

公式 $(1+x)^n$ 要求首项必须是 1。对于 $(4+5x)^{-1/2}$，必须提取因子： $$(4+5x)^{-1/2} = 4^{-1/2} \left(1 + \frac{5}{4}x\right)^{-1/2} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{5}{4}x\right)^{-1/2}$$

考场警示：提取因子时绝不能漏掉幂次 $-1/2$。如果写成 $4^{-1/2}(1+5x)^{-1/2}$ 就错了，必须确保括号内是 $1 + \frac{5}{4}x$。

策略二：展开式计算与有效范围

如何正确计算展开式的前四项，并确定有效范围？

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✅ 策略：套用公式并检查收敛域

展开步骤：

使用公式：$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$
代入 $n = -1/2$，$x = \frac{5}{4}x$（注意替换项）
计算各项系数，特别注意符号变化
有效范围：$\left|\frac{5}{4}x\right| < 1$，即 $|x| < \frac{4}{5}$

得分要点：有效范围必须从替换项 $|\frac{5}{4}x| < 1$ 推导，不能直接写 $|x| < 1$。

策略三：近似值计算技巧

如何通过代入 $x = 0.01$ 来求 $\sqrt{5}$ 的近似值？

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✅ 策略：建立等式关系并代入展开式

计算步骤：

建立等式：$(4+5x)^{-1/2} = \sqrt{5}$，即 $4+5x = 5$
解得 $x = 0.2$，但题目要求 $x = 0.01$
重新建立：$(4+5 \times 0.01)^{-1/2} = (4.05)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{4.05}}$
利用展开式：$\frac{1}{2}\left(1 + \frac{5}{4} \times 0.01\right)^{-1/2}$，代入展开式前四项
计算并取倒数得到 $\sqrt{4.05}$ 的近似值

得分要点：必须检查 $x = 0.01$ 是否在有效范围内（$|0.01| < 0.8$，符合），且必须展示代入展开式的完整过程。

💡 职业玩家提醒

在 P4 考场上，二项式展开通常出现在试卷的 Q1 或 Q2，作为开篇得分题。记住"1的执念"：公式 $(1+x)^n$ 的首项必须是 1，如果看到 $(a+bx)^n$，第一步必须提取因子。同时，有效范围的判定几乎每道题都会问，必须从替换项推导。

第四题：坐标几何 (Coordinate Geometry)

曲线 $C$ 的参数方程为 $x = 3 + 2\sin t$，$y = \frac{6}{7+2\cos 2t}$，其中 $-\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2}$。

(a) 证明该曲线的直角坐标方程（Cartesian Equation）可以写成 $y = \frac{12}{(7-x)(1+x)}$ 的形式。 (5 分)

(b) 确定曲线 $C$ 在直角坐标系下的定义域。 (2 分)

💡 职业玩家的第一反应：

寻找 $\cos 2t$ 与 $\sin t$ 之间的恒等式关系（即 $\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$）。

🎴 坐标几何核心策略闪卡

策略一：核心恒等式的"嗅觉" (The Identity)

在处理参数方程 $x = 3 + 2\sin t$ 和 $y = \frac{6}{7+2\cos 2t}$ 的消元题目时，职业玩家的第一反应是什么？

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✅ 策略：立即寻找 $\cos 2t$ 与 $\sin t$ 之间的倍角公式联系

核心公式： $\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$。

策略意义：由于 $x$ 表达式中包含 $\sin t$，选择这个形式的倍角公式可以直接实现变量替换，从而消去参数 $t$。

得分要点：这是坐标几何大题的第一步，选对恒等式是成功的关键。

策略二：代数证明的"路径" (The Proof Path)

在证明直角坐标方程 $y = \frac{12}{(7-x)(1+x)}$ 的过程中，最稳健的代数步骤是什么？

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✅ 策略：先"分离"再"代入"

从 $x$ 的方程中解出 $\sin t$：$\sin t = \frac{x-3}{2}$。
将其代入 $\cos 2t$ 的公式：$\cos 2t = 1 - 2(\frac{x-3}{2})^2$。
代入 $y$ 的表达式并进行分母化简，最终目标是拼凑出题目要求的因式分解形式。

得分要点：必须展示完整的代数变形过程，不能直接跳到最终结果。

策略三：定义域的"参数束缚" (The Domain Constraint)

如何确定该曲线在直角坐标系下的定义域 (Domain)？

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✅ 策略：利用参数 $t$ 的取值范围来限制 $x$

题目给出 $-\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2}$。
在该区间内，$\sin t$ 的取值范围是 $[-1, 1]$。
由此计算 $x$ 的范围：$x_{min} = 3 + 2(-1) = 1$；$x_{max} = 3 + 2(1) = 5$。
结论：定义域为 $1 \le x \le 5$。

提醒：绝对不能只看直角坐标方程的形式，必须回到参数定义的"源头"。

💡 职业玩家提醒

在 P4 考场上，坐标几何大题（通常 7-9 分）的成败全在于第一步恒等式的选择。如果选错了倍角公式（例如选了 $2\cos^2 t - 1$），会导致计算过程变得极其繁琐甚至无法消元。

第五题：微分 (Differentiation)

曲线 $C$ 的方程为 $xy^2 = x^2y + 6$。

(a) 利用隐函数求导法求出 $\frac{dy}{dx}$ 的表达式。 (5 分)

(b) 求曲线在点 $P(2, 3)$ 处的切线方程，答案以 $ax+by+c=0$ 的形式给出，其中 $a, b, c$ 为整数。 (3 分)

💡 职业玩家的第一反应：

对 $xy^2$ 和 $x^2y$ 同时使用乘积法则，且对 $y$ 求导时必须紧跟 $\frac{dy}{dx}$。

🎴 微分核心策略闪卡

策略一：法则选择的"条件反射" (Product Rule)

在对曲线方程 $xy^2 = x^2y + 6$ 进行求导时，面对 $xy^2$ 和 $x^2y$ 这类项，职业玩家的第一反应是什么？

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✅ 策略：必须同时对等号两边的乘积项使用"乘积法则 (Product Rule)"

核心动作：将 $xy^2$ 看作 $x$ 与 $y^2$ 的乘积，将 $x^2y$ 看作 $x^2$ 与 $y$ 的乘积。

代数表达： $\frac{d}{dx}(xy^2) = 1 \cdot y^2 + x \cdot \frac{d}{dx}(y^2)$。

得分要点：这是隐函数求导大题的第一分，必须正确识别乘积项并应用乘积法则。

策略二：$y$ 项求导的"后遗症" (The $dy/dx$ Tag)

在使用隐函数求导法处理含有 $y$ 的项（如 $y^2$）时，为了不丢过程分，最关键的动作是什么？

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✅ 策略：对 $y$ 求导时必须紧跟 $\frac{dy}{dx}$

职业规范：来源强调，在对涉及 $y$ 的表达式求导后，必须贴上 $\frac{dy}{dx}$ 标签（链式法则的应用）。

常见陷阱：绝不能只写成 $2y$，必须写成 $2y \frac{dy}{dx}$。

得分要点：漏掉 $\frac{dy}{dx}$ 会导致后续所有步骤错误，这是隐函数求导的核心规则。

策略三：切线方程的"终极格式" (Equation Standard)

求得点 $P(2, 3)$ 处的导数值后，题目对切线方程的最终形式有什么特殊要求？

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✅ 策略：必须化简为 $ax + by + c = 0$ 且系数必须为整数

将点 $(2, 3)$ 代入 $\frac{dy}{dx}$ 表达式求出斜率。
使用点斜式 $y - 3 = m(x - 2)$。
格式自检：必须通过移项和去分母，确保答案符合 $ax + by + c = 0$ 的形式，且 $a, b, c$ 为整数。

得分要点：即使计算正确，如果最终形式不符合题目要求，也会被扣分。

💡 职业玩家提醒

在 P4 考试中，隐函数求导通常占 8 分 左右。这类题目最容易在乘积法则的展开中丢掉符号或漏掉 $\frac{dy}{dx}$。同时，请注意来源中的总体规范：必须展示所有计算阶段，不能直接用计算器的导数功能得出斜率。

第六题：积分 (Integration)

(a) 利用换元法 $u = 1 + 2x^2$，求 $\int x(1+2x^2)^5 dx$ 的结果。 (4 分)

(b) 利用分部积分法求 $\int x^2 \ln x \, dx$ 的结果。 (5 分)

💡 职业玩家的第一反应：

看到 $\ln x$ 出现在分部积分中，它永远是 $u$。

🎴 积分核心策略闪卡

策略一：分部积分的"地位"判定 (Priority of $u$)

在进行分部积分（如题目中的 $\int x^2 \ln x \, dx$）时，职业玩家选择 $u$ 的第一反应是什么？

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✅ 策略：令 $u = \ln x$

根据来源中的"职业玩家第一反应"，当 $\ln x$ 出现在分部积分中时，它永远被设定为 $u$。

得分要点：选错 $u$ 会导致积分陷入死循环或越积越复杂。

策略二：计算过程的"合规性" (Show Your Work)

在处理第 6 题的换元法（Substitution）或分部积分推导时，为了避免获得 0 分，必须遵守哪条禁令？

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✅ 策略：必须展示所有计算阶段，严禁直接抄写计算器结果

来源在"考生注意事项"中明确规定：完全依赖计算技术的解法（如直接使用计算器的积分功能）将不予评分。

职业动作：必须写出 $du/dx$ 的求导过程以及将被积函数替换为 $u$ 的中间步骤。

得分要点：即使最终答案正确，如果缺少中间步骤，也会被扣分或得 0 分。

策略三：精确值的"结果自检" (Exact Value Check)

针对第 6(c) 题要求给出 Exact Value（精确值）的情况，职业玩家在写下最终答案时的第一反应是什么？

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✅ 策略：检查结果是否保留了符号形式，绝对严禁出现小数

来源特别提醒：测验结束前必须检查是否所有要求 Exact Value 的题目都保留了符号形式，而非小数。

例如：结果应保留为 $\frac{3}{2} \ln(\frac{5}{3})$ 这种形式，而不是其对应的近似小数值。

得分要点：即使计算正确，如果写成小数形式，也会被扣分。

💡 职业玩家复习提醒

在处理第 6(c) 题这种涉及分母为线性函数（$2x+1$）的积分时，第一反应应是其结果必含 $\ln$ 形式。同时请记住，如果题目涉及三角函数的微积分运算，计算器必须锁定在 RAD (弧度制) 模式。

第七题：微分方程 (Differential Equations)

某水箱深度的变化率满足方程 $\frac{dH}{dt} = \frac{k(5-H)}{t}$。

(a) 通过分离变量法求解此微分方程，用 $t, k$ 表示 $H$。 (6 分)

(b) 已知初始条件下 $t=1, H=2$，且当 $t=4$ 时 $H=3$，求常数 $k$ 的精确值。 (4 分)

💡 职业玩家的第一反应：

两边积分完必须立即加上常数 $+C$。

🎴 微分方程核心策略闪卡

策略一：积分时刻的"条件反射" (The Instant $+C$)

在利用分离变量法对 $\frac{dH}{dt} = \frac{k(5-H)}{t}$ 进行两侧积分时，职业玩家的第一反应是什么？

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✅ 策略：两边积分完必须立即加上常数 $+C$

来源强调，这是求解微分方程最关键的一步。如果在去对数（取 $e$ 的幂次）之后才加 $C$，会导致整个函数表达式发生根本性错误，从而丢失后续所有分数。

得分要点：漏掉 $+C$ 或加错位置，会导致整个模型推导错误，无法获得后续分数。

策略二：对数积分的"负号陷阱" (The Negative Sign)

在积分等号左侧的 $\int \frac{1}{5-H} dH$ 时，最容易被忽略的细节是什么？

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✅ 策略：绝对不能漏掉 $H$ 前系数导致的负号

代数细节：该项积分结果为 $-\ln|5-H|$ 而不是 $\ln|5-H|$。

职业技巧：在 P4 考试中，分母为 $(a-x)$ 形式的积分是极高频的陷阱，漏掉负号将直接导致无法正确解出 $H$ 关于 $t$ 的表达式。

得分要点：记住：$\int \frac{1}{a-x} dx = -\ln|a-x| + C$。

策略三：结果要求的"政治正确" (Exact Value vs. Decimals)

在第 7(b) 问求解常数 $k$ 的值时，对于答案的格式有什么严格要求？

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✅ 策略：必须给出 Exact Value（精确值），严禁写成小数

执行标准：结果应保留为 $\ln$ 或分数形式。

禁令提醒：来源明确规定，完全依赖计算技术的解法（直接得出数值）将不予评分，必须展示代入初始条件（$t=1, H=2$ 等）求解 $C$ 和 $k$ 的完整过程。

得分要点：即使计算正确，如果写成小数形式或缺少中间步骤，也会被扣分。

💡 职业玩家提醒

在 P4 的微分方程大题中，展示所有计算阶段是保分的底线。即使你算出了正确的 $k$ 值，如果没有展示如何通过分离变量得到积分式，或者跳过了 $+C$ 的代入过程，依然无法拿到 10 分的总分。

第八题：向量 (Vectors)

已知直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的方程分别为： $$\mathbf{r}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$$ $$\mathbf{r}_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$

(a) 证明 $l_1$ 与 $l_2$ 相交并求出交点 $P$ 的位置向量。 (6 分)

(b) 计算这两条直线之间的夹角（以度为单位，保留一位小数）。 (4 分)

💡 职业玩家的第一反应：

计算角度时只取方向向量 $\mathbf{b}$，且计算器必须调至 DEG 模式。

🎴 向量核心策略闪卡

策略一：角度计算的"纯粹性" (Angle Calculation)

在计算两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 之间的夹角（如第 8b 题）时，职业玩家的第一反应是什么？

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✅ 策略：只取方向向量 $\mathbf{b}$ 进行点积运算，且必须检查计算器模式

核心动作：忽略位置向量（起点），仅提取 $l_1$ 的 $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ 和 $l_2$ 的 $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ 进行 $\cos \theta$ 计算。

必做自检：题目要求以"度"为单位，计算器必须锁定在 DEG (角度制) 模式，而非微积分常用的 RAD 模式。

得分要点：如果计算出的 $\cos \theta$ 为负值，说明是钝角，通常取其绝对值来给出两条直线之间的锐角夹角。

策略二：证明相交的"逻辑闭环" (Proving Intersection)

在证明 $l_1$ 与 $l_2$ 相交并求交点 $P$ 时，如何确保逻辑严密而不丢分？

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✅ 策略："两式联立，三式验证"

联立 $i, j, k$ 三个分量的方程。
选取其中两个方程解出参数 $\lambda$ 和 $\mu$。
关键分点：必须将求得的 $\lambda, \mu$ 代入第三个未使用的方程。若等式成立，才正式证明了两线相交（排除异面直线可能性）。

得分要点：缺少第三步验证，无法区分相交和异面直线，会被扣分。

策略三：最短距离的"几何本质" (Shortest Distance)

求点 $A(1, 2, -1)$ 到直线 $l_2$ 的最短距离（第 8c 题）时，最稳健的代数切入点是什么？

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✅ 策略：利用"垂直关系"构建点积方程

核心逻辑：设 $l_2$ 上一点为 $F$，当向量 $\vec{AF}$ 与直线 $l_2$ 的方向向量 $\mathbf{b}_2$ 垂直时，距离最短。

计算路径：

写出 $\vec{AF}$ 的参数表达式。
令 $\vec{AF} \cdot \mathbf{b}_2 = 0$ 求解参数 $\mu$。
将 $\mu$ 代回求出向量 $\vec{AF}$ 的模长 $|\vec{AF}|$。

得分要点：必须明确写出垂直条件 $\vec{AF} \cdot \mathbf{b}_2 = 0$，这是获得过程分的关键。

💡 职业玩家提醒

向量题通常作为 P4 的压轴大题，分值极高（本题共 15 分）。在处理 8b 问时，如果计算出的 $\cos \theta$ 为负值，说明你找到了钝角，职业玩家通常会取其绝对值来给出两条直线之间的锐角夹角。此外，涉及"Exact Value"的要求在向量题中也常出现，请务必在最后检查是否误写成了小数。

测验结束

请检查是否所有 "Exact Value" 的题目都保留了符号形式，而非小数。