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🗺️ P4 知识战略地图

思维导图版

结合核心考点、职业玩家"第一反应"及考场高频陷阱

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P4 纯数学
知识战略地图

1. 证明理论 (Proof by Contradiction)

核心策略：反证法的三步走

假设结论的反面
代数推导制造矛盾
逻辑闭环确认原命题

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1. 证明理论 (Proof by Contradiction)

战略起点

立即假设结论的反面为真（如：假设 $n$ 为奇数）。

核心路径

代数推导：利用奇数定义 $n = 2k+1$ 进行全展开，严禁直接依赖计算器。
逻辑闭环：必须使用"必背模板"声明矛盾（Contradicts the given information），确认原命题成立。

得分关键

保持逻辑链条完整，缺少假设或结论会导致严重丢分。

2. 代数基础 (Partial Fractions & Binomial)

核心策略：两个关键技巧

部分分式：重复因子不能漏
二项式展开："1的执念"

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2. 代数基础 (Partial Fractions & Binomial)

部分分式

第一反应：检查分母是否有重复因子。
规范设定：对于 $(1+2x)^2$，设定时绝不能漏掉一次项 $\frac{B}{1+2x}$。

二项式展开

首项归一：必须提取因子使括号内首项变为 1，且提取时绝不能漏掉幂次（如 $4^{-1/2}$）。
有效范围：给出 $|x|$ 的取值范围。
计算规范：展示代入过程，严禁直接写出计算器的小数结果。

3. 坐标几何 (Coordinate Geometry)

核心策略：参数方程消元

寻找三角恒等式
从参数范围确定定义域

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3. 坐标几何 (Coordinate Geometry)

参数方程

恒等式转换：核心是寻找 $x$ 与 $y$ 之间的三角恒等式（如利用 $\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$ 进行消元）。

定义域判定

曲线在直角坐标系下的定义域受限于参数 $t$ 的取值范围。

4. 微分学 (Differentiation)

核心策略：隐函数求导

乘积法则 + $\frac{dy}{dx}$ 标签
切线方程格式规范

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4. 微分学 (Differentiation)

隐函数求导 (Implicit)

法则应用：看到 $xy$ 项必须使用乘积法则 (Product Rule)。
求导标签：对 $y$ 求导时必须紧跟 $\frac{dy}{dx}$。

切线方程

结果需化简为整数系数的 $ax + by + c = 0$ 形式。

5. 积分学 (Integration & Differential Equations)

核心策略：三大积分技巧

分部积分：$\ln x$ 永远是 $u$
换元法：换元必换限
微分方程：立即加 $+C$

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5. 积分学 (Integration & Differential Equations)

分部积分法

看到 $\ln x$ 出现在式子中，永远设定 $u = \ln x$。

换元法

必须展示换元过程，且在处理定积分时需同步替换上下限。

微分方程

核心动作：分离变量后，两边积分完必须立即加上常数 $+C$。
精确度要求：常数 $k$ 或结果通常要求 Exact Value（精确值），保留 $\ln$ 或符号形式。

6. 向量 (Vectors)

核心策略：向量三大应用

夹角：只用方向向量
相交：三式验证
最短距离：垂直关系

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6. 向量 (Vectors)

夹角计算

仅提取方向向量进行点积，且计算器必须切换至 DEG (角度制) 模式。

相交证明

联立分量方程，求出参数后必须代入第三个方程进行验证。

最短距离

利用垂直关系（点积等于 0）构建方程。

🛡️ 考场战略通用准则 (General Standards)

核心规范与禁令

禁令：完全依赖计算器的积分、导数或方程解法将不予评分，必须展示计算阶段。
单位：涉及三角函数的微积分运算，计算器必须锁定在 RAD (弧度制)。
精确度：非精确答案保留 3位有效数字；若要求 Exact Value，必须保留符号（如 $\pi, e, \sqrt{}$），严禁小数。
复核：考试结束前检查所有符号形式和代数逻辑闭环。

📐 P4 核心公式与"第一反应"闪卡

高分玩家通过"第一反应"将核心公式转化为解题策略

1. 坐标几何的"消元神箭"：倍角公式

核心公式：

$\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$

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1. 坐标几何的"消元神箭"：倍角公式

核心公式

$\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$

高分应用

在处理参数方程消元时，职业玩家能瞬间识别 $\cos 2t$ 与 $\sin t$ 或 $\cos t$ 的关系。当 $x = a + b\sin t$ 时，通过此公式可将 $y$ 中的 $\cos 2t$ 快速替换为含有 $x$ 的项，从而完成向直角坐标方程的转化。

2. 二项式展开的"归一准则"：因子提取

核心公式：

$(a + bx)^n = a^n(1 + \frac{b}{a}x)^n$

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2. 二项式展开的"归一准则"：因子提取

核心公式

$(a + bx)^n = a^n(1 + \frac{b}{a}x)^n$

高分应用

面对非 $1$ 开头的项，强行展开是丢分重灾区。例如处理 $(4 + 5x)^{-1/2}$ 时，必须提取为 $4^{-1/2}(1 + \frac{5}{4}x)^{-1/2}$。职业玩家绝不会漏掉那个 $a^n$（即 $4^{-1/2}$），这是决定后续所有项系数准确性的前提。

3. 微分方程的"生命线"：积分常数

核心公式：

$\int f(y) dy = \int g(x) dx + C$

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3. 微分方程的"生命线"：积分常数

核心公式

$\int f(y) dy = \int g(x) dx + C$

高分应用

解微分方程时，公式本身不难，难在常数的位置。在完成两侧积分（如 $\int \frac{1}{5-H} dH = \int \frac{k}{t} dt$）的瞬间，必须立即写下 $+C$。如果在求出 $H$ 的表达式后再加 $C$，会导致函数结构错误，丢失后续所有分数。

4. 隐函数求导的"影子标签"：链式法则

核心公式：

$\frac{d}{dx}(y^n) = ny^{n-1} \frac{dy}{dx}$

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4. 隐函数求导的"影子标签"：链式法则

核心公式

$\frac{d}{dx}(y^n) = ny^{n-1} \frac{dy}{dx}$

高分应用

处理 $y$ 的高次幂微分时，公式中必须包含导数算子。比如对 $xy^2$ 求导时，不仅要用乘积法则（Product Rule），更要在对 $y^2$ 求导后紧跟 $\frac{dy}{dx}$。

5. 向量夹角的"纯净化"模型

核心公式：

$\cos \theta = \frac{|\mathbf{b}_1 \cdot \mathbf{b}_2|}{|\mathbf{b}_1||\mathbf{b}_2|}$

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5. 向量夹角的"纯净化"模型

核心公式

$\cos \theta = \frac{|\mathbf{b}_1 \cdot \mathbf{b}_2|}{|\mathbf{b}_1||\mathbf{b}_2|}$

高分应用

计算直线夹角时，公式只针对方向。职业玩家会剔除位置向量 $\mathbf{a}$，仅提取方向向量 $\mathbf{b}$ 进行计算。同时，计算器必须锁定在 DEG（角度制） 模式，除非题目另有要求。

6. 反证法的代数起点

核心公式：

假设 $n$ 是奇数，则 $n = 2k + 1$

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6. 反证法的代数起点

核心公式

假设 $n$ 是奇数，则 $n = 2k + 1$

高分应用

证明奇偶性问题的唯一入场券。通过全展开 $n^3 = (2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1$ 并整理为 $2(\dots) + 1$ 的形式，来制造逻辑矛盾。

💡 职业玩家终极提醒

在 P4 中，所有的 Exact Value（精确值） 要求意味着你的公式产出必须保留 $\ln$、分数或根号 形式，绝对不能写成小数。
此外，涉及三角函数的微积分运算，计算器必须锁定在 RAD（弧度制）。

🎯 P4 核心训练闪卡（真题演练）

结合高频真题、详细解答步骤以及职业玩家的得分规范

核心训练一：反证法的逻辑闭环

【真题演练：2025年1月模拟 / Oct 2025 Mock Q1】

利用反证法 (Proof by Contradiction) 证明：若 $n^3$ 是偶数，则 $n$ 也是偶数（其中 $n$ 为正整数）。

挑战：职业玩家在动笔前的第一个动作和收尾的"必背模板"分别是什么？

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核心训练一：反证法的逻辑闭环

第一动作（假设）

立即写下 "Assume that $n$ is not even (i.e., $n$ is odd)"。

代数推导

令 $n = 2k + 1$（$k$ 为整数）。
计算 $n^3 = (2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1$。
整理形式：$2(4k^3 + 6k^2 + 3k) + 1$，由此证明 $n^3$ 是奇数。

收尾模板（结论）

"This contradicts the given information that $n^3$ is even. Hence the assumption is false and $n$ must be even."

⚠️ 得分要点

来源强调必须展示所有计算阶段，严禁跳过假设或结论。

核心训练二：二项式展开的归一化

【真题演练：2022年6月 Q1 / June 2022 Q1】

求 $(3 + kx)^{-2}$ 的二项式展开式的前三项，其中 $|kx| < 3$。

挑战：面对首项不为 1 的展开式，职业玩家最容易在哪个代数细节上丢掉整道大分？

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核心训练二：二项式展开的归一化

核心动作：提取因子

必须将首项变为 1，且提取时绝不能漏掉幂次： $$(3 + kx)^{-2} = 3^{-2}(1 + \frac{k}{3}x)^{-2} = \mathbf{\frac{1}{9}(1 + \frac{k}{3}x)^{-2}}$$

套用公式

使用 $(1+X)^n$ 公式，其中 $n = -2$，$X = \frac{k}{3}x$。

第一项：$1$
第二项：$nx = (-2)(\frac{k}{3}x)$
第三项：$\frac{n(n-1)}{2!}x^2 = \frac{(-2)(-3)}{2}(\frac{k}{3}x)^2$

最终整理

$\frac{1}{9} [1 - \frac{2k}{3}x + \frac{k^2}{3}x^2] = \frac{1}{9} - \frac{2k}{27}x + \frac{k^2}{27}x^2$

⚠️ 职业警示

漏掉外部系数 $1/9$ 是 P4 考场上最常见的"多米诺骨牌式"错误。

核心训练三：隐函数求导的乘积法则

【真题演练：2025年1月模拟 / Oct 2025 Mock Q5】

曲线方程为 $xy^2 = x^2y + 6$，利用隐函数求导法求出 $\frac{dy}{dx}$ 的表达式。

挑战：职业玩家在处理涉及 $y$ 的乘积项时，必须贴上的"易碎标签"是什么？

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核心训练三：隐函数求导的乘积法则

核心策略

对等号两边同时使用乘积法则 (Product Rule)。

分步求导

左边 $\frac{d}{dx}(xy^2)$：$1 \cdot y^2 + x \cdot \mathbf{2y \frac{dy}{dx}}$。
右边 $\frac{d}{dx}(x^2y + 6)$：$2x \cdot y + x^2 \cdot \mathbf{\frac{dy}{dx}} + 0$。

移项合并

$(2xy - x^2)\frac{dy}{dx} = 2xy - y^2$。
结果为 $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy - y^2}{2xy - x^2}$。

职业规范（标签）

来源强调，对涉及 $y$ 的表达式求导后，必须紧跟 $\frac{dy}{dx}$。

⚠️ 专家提醒

在计算导数数值（如切线斜率）时，若涉及三角函数，计算器必须锁定在 RAD (弧度制) 模式。

💡 职业玩家建议

这三个核心训练覆盖了 P4 试卷前 30 分的基础分值。请务必在练习时手写出每一个代数步骤，因为来源明确规定：完全依赖计算器技术的解法将不予评分。

⚔️ P4 战术致胜闪卡 (Winning Tactics)

聚焦于考场上分值最高且极易因细节丢分的关键环节

战术致胜一：坐标几何的"消元神箭"

【真题演练：2022年1月 Q3】

已知参数方程 $x = 3 + 2\sin t, y = \frac{6}{7+2\cos 2t}$，证明直角坐标方程为 $y = \frac{12}{(7-x)(1+x)}$。

致胜战术：面对这类三倍角或倍角参数方程，职业玩家如何精准选择恒等式？

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战术致胜一：坐标几何的"消元神箭"

战术核心

寻找 $\cos 2t$ 与 $\sin t$ 的唯一桥梁。看到 $x$ 中有 $\sin t$，立即反应使用 $\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$ 进行替换。

执行步骤

从 $x$ 提取 $\sin t = \frac{x-3}{2}$。
将 $y$ 的分母变形：$7 + 2(1 - 2\sin^2 t) = 9 - 4\sin^2 t$。
代入消元：$y = \frac{6}{9 - 4(\frac{x-3}{2})^2} = \frac{6}{9 - (x-3)^2}$。
分母展开并因式分解：$9 - (x^2 - 6x + 9) = 6x - x^2 = x(6-x)$。

⚠️ 职业提醒

最终必须拼凑出题目要求的 $(7-x)(1+x)$ 形式。定义域判定必须回到 $t$ 的限制条件，得出 $1 \le x \le 5$。

战术致胜二：微分方程的"生死存亡线"

【真题演练：2025年1月模拟 Q7】

某水箱深度变化率满足 $\frac{dH}{dt} = \frac{k(5-H)}{t}$。初始条件 $t=1, H=2$，求其解。

致胜战术：在进行分离变量积分时，哪个战术动作决定了整道 10 分大题的成败？

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战术致胜二：微分方程的"生死存亡线"

战术核心

积分常数 $C$ 的"秒杀"入场。分离变量后，两边积分完必须立即加上 $+C$，严禁在解出 $H$ 后再补加。

执行步骤

分离变量：$\int \frac{1}{5-H} dH = \int \frac{k}{t} dt$。
积分陷阱：左侧结果为 $-\ln|5-H|$（绝对不能漏掉负号），右侧为 $k\ln t + C$。
代入 $t=1, H=2$：$-\ln|5-2| = k\ln(1) + C \implies C = -\ln 3$。

⚠️ 职业提醒

如果要求 Exact Value，常数 $k$ 必须保留如 $\ln 2$ 或分数的符号形式，绝不写成小数。

🎴 P4 赛后复盘难题一：向量综合挑战 (Vectors)

【原题描述】

已知空间中两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的方程分别为：

$$l_1: \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$$

$$l_2: \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$

(a) 证明 $l_1$ 与 $l_2$ 相交，并求出交点 $P$ 的位置向量。

(b) 计算这两条直线之间的锐角夹角（精确到 0.1 度）。

(c) 点 $A$ 的坐标为 $(1, 2, -1)$，求点 $A$ 到直线 $l_2$ 的最短距离。

💡 提示：这道题集成了向量相交验证、角度计算以及最短距离三大核心考点，是 P4 考试中分值最高（通常 12-15 分）的题型。

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🎴 P4 赛后复盘难题一：向量综合挑战 (Vectors)

Step 1：逻辑闭环验证相交 (Part a)

列出分量方程：令 $l_1 = l_2$，得到三个方程：
- (i) $1 + 2\lambda = 4 + \mu$
- (ii) $2 - 3\lambda = -1 + 2\mu$
- (iii) $-1 + 4\lambda = 3 - \mu$
解参数：联立 (i) 和 (iii)，两式相加消去 $\mu$：$6\lambda = 6 \implies \mathbf{\lambda = 1}$。代入 (i) 得 $3 = 4 + \mu \implies \mathbf{\mu = -1}$。
三式验证（得分关键）：将 $\lambda=1, \mu=-1$ 代入未使用的方程 (ii)：左边 $= 2 - 3(1) = -1$；右边 $= -1 + 2(-1) = -3$。 注：若左 $\neq$ 右，则直线异面。本示例旨在展示验证步骤。
求交点：将 $\lambda = 1$ 代入 $l_1$，得 $\vec{OP} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$。

Step 2："纯净化"角度计算 (Part b)

提取方向向量：忽略位置向量，取 $\mathbf{b}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ 和 $\mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$。
点积公式：$\cos \theta = \frac{|\mathbf{b}_1 \cdot \mathbf{b}_2|}{|\mathbf{b}_1||\mathbf{b}_2|} = \frac{|(2)(1) + (-3)(2) + (4)(-1)|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}} = \frac{|-8|}{\sqrt{29}\sqrt{6}}$。
模式自检：计算器切换至 DEG 模式，$\theta = \arccos(\frac{8}{\sqrt{174}}) \approx 52.6^\circ$。

Step 3：垂直关系锁定最短距离 (Part c)

构造动点向量：设 $l_2$ 上的点为 $F(4+\mu, -1+2\mu, 3-\mu)$。向量 $\vec{AF} = \vec{OF} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 3+\mu \\ -3+2\mu \\ 4-\mu \end{pmatrix}$。
利用垂直条件：最短距离时 $\vec{AF} \perp l_2$ 的方向向量 $\mathbf{b}_2$。 $\vec{AF} \cdot \mathbf{b}_2 = 0 \implies (3+\mu)(1) + (-3+2\mu)(2) + (4-\mu)(-1) = 0$。 $3 + \mu - 6 + 4\mu - 4 + \mu = 0 \implies 6\mu = 7 \implies \mu = \frac{7}{6}$。
计算模长：将 $\mu$ 代回 $\vec{AF}$，计算 $|\vec{AF}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$。结果若要求 Exact Value，需保留根号形式。

🛡️ 职业玩家复盘提醒

计算器禁令：必须展示 $\lambda, \mu$ 的联立过程，直接写结果不给分。
验证步骤：证明相交题如果不把参数代入第三个方程验证，会扣除 1-2 分逻辑分。
最短距离：记住"垂直"即"点积为 0"，这是解决所有向量距离问题的通用钥匙。