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P4 第三章：坐标几何
Coordinate Geometry
参数方程 (Parametric Equations) 的核心应用
本章围绕参数方程展开，主要考察如何处理变量 $x$ 和 $y$ 同时受控于参数 $t$（或 $\theta$）的情况。参数方程就像是"双线木偶"：$x$ 和 $y$ 表面上没关系，但背后都由同一个 $t$ 在操纵。本章通常以"两步走"的形式考查：首先要求进行Cartesian 方程转化，随后要求通过参数微分求解切线或结合第六章求解曲线下面积/旋转体体积。
1. 核心知识点回顾
1.1 参数方程的基本概念
曲线上的点坐标表示为 $x = f(t)$ 和 $y = g(t)$。其中参数 $t$ 的取值范围决定了曲线的起点和终点。
1.2 消元法转化为直角坐标方程
代数消元
从一个方程中解出 $t$，代入另一个方程。例如由 $x=t+1$ 得到 $t=x-1$。
三角恒等式消元
利用 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$、$\sec^2 t - \tan^2 t = 1$ 或二倍角公式（如 $\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$）来消除参数。
1.3 定义域 (Domain) 与值域 (Range)
- 直角坐标方程 $y = g(x)$ 的定义域是参数 $t$ 的限制范围内 $x$ 的取值范围。
- 值域则是对应 $y$ 的取值范围。
- 重要提示：在练习时，应特别注意参数 $t$ 的取值范围对 $x$ 定义域的影响。
1.4 参数微分（结合第五章 5.1）
求曲线切线梯度时，使用此公式。核心是"链式法则"的变形，先分别求导再相除。
2. 历年真题全解析（3道典型题）
【第一题：代数消元与范围确定】January 2021 Q4
题目：曲线 $C$ 的参数方程为 $x = t + 1$，$y = t^2 - 3t + 2$ ($t \ge 0$)。
(a) 将其写成 $y = g(x)$ 的形式。
(b) 写出函数 $g$ 的值域 (Range)。
解析 (Step-by-Step)
- 第一步（代数消元）：从 $x = t + 1$ 得到 $t = x - 1$。
- 第二步（代入）：将 $t$ 代入 $y$ 的表达式：$y = (x - 1)^2 - 3(x - 1) + 2$。
- 第三步（化简）：展开整理得 $y = x^2 - 2x + 1 - 3x + 3 + 2 = x^2 - 5x + 6$。
- 第四步（确定范围）：因为 $t \ge 0$，所以 $x = t + 1 \ge 1$（这是定义域）。观察二次函数 $y = (x - 2.5)^2 - 0.25$，在 $x \ge 1$ 范围内，$y$ 的最小值为顶点的纵坐标 $-0.25$。因此值域为 $g(x) \ge -0.25$。
【第二题：三角恒等式消元】January 2022 Q3
题目：$x = 3 + 2\sin t$，$y = \frac{6}{7 + 2\cos 2t}$ ($-\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2}$)。证明直角坐标方程为 $y = \frac{12}{(7-x)(1+x)}$。
解析 (Step-by-Step)
- 第一步（孤立三角项）：由 $x$ 的方程得 $\sin t = \frac{x-3}{2}$。
- 第二步（变换 $y$ 的分母）：利用二倍角公式 $\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$。
分母变为：$7 + 2(1 - 2\sin^2 t) = 9 - 4\sin^2 t$。
- 第三步（代入消元）：将 $\sin t$ 替换掉：
$y = \frac{6}{9 - 4(\frac{x-3}{2})^2} = \frac{6}{9 - (x-3)^2}$。
- 第四步（因式分解证明）：分母展开为 $9 - (x^2 - 6x + 9) = 6x - x^2 = x(6-x)$。
注意：题目要求的形式可能涉及常数项调整，需根据题干给出的 $p \le x \le q$ 确定 $x$ 的范围（此处为 $1 \le x \le 5$）。
【第三题：参数微分与切线方程】June 2022 Q7
题目：$x = \sin t - 3\cos^2 t$，$y = 3\sin t + 2\cos t$。求 $t = \pi$ 时的 $\frac{dy}{dx}$ 及其切线方程。
解析 (Step-by-Step)
- 第一步（求导）：
$\frac{dx}{dt} = \cos t - 6\cos t (-\sin t) = \cos t + 6\sin t \cos t$。
$\frac{dy}{dt} = 3\cos t - 2\sin t$。
- 第二步（代入 $t = \pi$）：
当 $t = \pi$ 时，$\cos \pi = -1, \sin \pi = 0$。
$\frac{dx}{dt} = -1 + 0 = -1$；$\frac{dy}{dt} = 3(-1) - 0 = -3$。
- 第三步（求梯度）：$\frac{dy}{dx} = \frac{-3}{-1} = 3$。
- 第四步（求坐标点）：
将 $t = \pi$ 代入原参数方程：$x = 0 - 3(-1)^2 = -3$，$y = 0 + 2(-1) = -2$。
- 第五步（列方程）：$y - (-2) = 3(x - (-3)) \Rightarrow y + 2 = 3x + 9 \Rightarrow y = 3x + 7$。
2.1 更多真题示例
【代数消元与直角坐标转化题型】
这类题目要求通过代数手段消除参数 $t$，求出 $y$ 关于 $x$ 的表达式。
- 2021年1月 Q4：已知 $x = t + 1$，$y = t^2 - 3t + 2$ ($t \ge 0$)。要求显示其直角坐标方程形式并确定值域。
- 2022年10月 Q1：已知 $x = \frac{t}{t-3}$，$y = \frac{1}{t} + 2$ ($t > 3$)。要求证明直角坐标方程为 $y = \frac{ax}{bx-1}$。
- 2023年1月 Q2：已知 $x = \frac{t-1}{2t+1}$，$y = \frac{6}{2t+1}$ ($t \neq -0.5$)。要求证明所有点 P 位于一条直线上。
- 2025年1月 Q3：已知 $x = \frac{15-4t}{5}$，$y = t^2$ ($t \ge 0$)。要求显示直角坐标方程 $y = g(x)$ 并在限定范围内求值域。
【三角恒等式消元题型】
利用 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ 或二倍角公式进行转化的重难点题型。
- 2022年1月 Q3：已知 $x = 3 + 2\sin t$，$y = \frac{6}{7+2\cos 2t}$。要求证明直角坐标方程并寻找 $x$ 的取值范围 $[p, q]$。
- 2024年1月 Q9：已知 $x = 3\sec^3 t$，$y = 6\tan t$。要求通过消元证明点满足特定的代数方程。
- 2024年10月 Q3：已知 $x = 3\sin 2\theta$，$y = 1 - \cos 2\theta$。要求显示其 Cartesian 方程为 $8x^2 + 9y^2 - 18y = 0$ 形式（或类似变形）并寻找常数 $q$。
【参数微分与几何应用题型】
结合第五章微分，考查切线、法线方程及梯度。
- 2018年样本卷 (Specimen) Q4：已知 $x = 3\sin 2t$，$y = 4\cos^2 t$。要求显示 $\frac{dy}{dx} = k \tan 2t$ 并求出 $t = \frac{\pi}{3}$ 时的切线方程。
- 2022年6月 Q7：已知 $x = \sin t - 3\cos^2 t$，$y = 3\sin t + 2\cos t$。要求证明在 $t = \pi$ 时 $\frac{dy}{dx} = 3$，并求出切线方程。
- 2023年10月 Q8：已知 $x = 6 - 3\sin 2t$，$y = 2\cos^2 t$。考查参数微分求梯度 $\lambda$ 以及后续的旋转体体积计算。
3. 解题技巧总结
💡 专家提示
参数方程就像是"双线木偶"：$x$ 和 $y$ 表面上没关系，但背后都由同一个 $t$ 在操纵。
- 代数题：核心是"反解 $t$"。
- 三角题：核心是"找公式"（尤其是 $\cos 2t$ 的三种变换）。
- 微分题：核心是"链式法则"的变形，先分别求导再相除。
归纳提示：这些真题表明，本章通常以"两步走"的形式考查：首先要求你进行Cartesian 方程转化（得分点在于三角公式的运用），随后要求你通过参数微分求解切线或结合第六章求解曲线下面积/旋转体体积。在练习时，应特别注意参数 $t$ 的取值范围对 $x$ 定义域的影响。