P4 第五章：微分

P4的"得分主力军"

本章是 P4 的"得分主力军"。核心内容围绕复杂曲线的求导及其在几何与物理中的应用展开。隐函数和参数微分的步骤非常机械化，只要熟练掌握乘积法则和链式法则，这部分的 10-15 分是非常稳的。务必保证代入坐标计算梯度的最后一步不要出现简单的算术错误。

1. 核心知识点回顾

1.1 参数方程求导 (Parametric Differentiation)

参数方程求导公式：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$$

1.2 隐函数求导 (Implicit Differentiation)

用于处理 $x$ 和 $y$ 混合在一起且难以分离的方程（如 $xy^2 = x^2y + 6$）。

关键规则：对 $y$ 的项求导时，需乘以 $\frac{dy}{dx}$。例如 $\frac{d}{dx}(y^n) = ny^{n-1} \frac{dy}{dx}$。
乘积法则 (Product Rule) 是此类题目的核心坑点，如 $\frac{d}{dx}(xy) = x\frac{dy}{dx} + y$。

⚠️ 隐函数"必看项"

只要看到 $x$ 和 $y$ 乘在一起（如 $xy, x^2y^2, e^{xy}$），必须使用乘积法则，这是隐函数求导大题的第一分。

1.3 变化率 (Rates of Change)

2. 历年真题全解析 (Step-by-Step)

【第一题：隐函数求导与几何应用】January 2022 Q1

题目：已知曲线 $C$ 的方程为 $xy^2 = x^2y + 6$。求该曲线在点 $P(2, 3)$ 处的切线方程，形式为 $ax + by + c = 0$。

解析

第一步（隐函数求导）：对等式两边关于 $x$ 求导。
- 左边（用乘积法则）：$1 \cdot y^2 + x(2y \frac{dy}{dx}) = y^2 + 2xy \frac{dy}{dx}$。
- 右边（用乘积法则）：$2x \cdot y + x^2 \frac{dy}{dx}$。
第二步（代入坐标）：将 $x=2, y=3$ 代入求导后的等式。 $3^2 + 2(2)(3)\frac{dy}{dx} = 2(2)(3) + 2^2\frac{dy}{dx} \Rightarrow 9 + 12\frac{dy}{dx} = 12 + 4\frac{dy}{dx}$。
第三步（求出梯度）：$8\frac{dy}{dx} = 3 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{8}$。
第四步（写出方程）：$y - 3 = \frac{3}{8}(x - 2)$，整理得 $3x - 8y + 18 = 0$。

【第二题：参数方程微分与切线】June 2022 Q7

题目：曲线 $C$ 由 $x = \sin t - 3\cos^2 t$，$y = 3\sin t + 2\cos t$ 定义。证明在 $t = \pi$ 时，$\frac{dy}{dx} = 3$。

解析

第一步（分别求导）：
- $\frac{dx}{dt} = \cos t - 6\cos t(-\sin t) = \cos t + 6\sin t \cos t$。
- $\frac{dy}{dt} = 3\cos t - 2\sin t$。
第二步（代入参数值）：当 $t = \pi$ 时，$\sin \pi = 0, \cos \pi = -1$。
- $\frac{dx}{dt} = -1 + 0 = -1$。
- $\frac{dy}{dt} = 3(-1) - 0 = -3$。
第三步（求梯度）：$\frac{dy}{dx} = \frac{-3}{-1} = 3$。

【第三题：变化率与几何模型】June 2022 Q3

题目：一个圆柱形药片正在溶解。半径为 $x$，长度为 $3x$。已知其横截面积正在以 $0.5 \text{ mm}^2/\text{s}$ 的恒定速率减少。当 $x = 7$ 时，求 $x$ 随时间的变化率 $\frac{dx}{dt}$。

解析

第一步（建立面积公式）：横截面积 $A = \pi x^2$。
第二步（求 $A$ 关于 $x$ 的导数）：$\frac{dA}{dx} = 2\pi x$。
第三步（应用链式法则）：$\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dx} \times \frac{dx}{dt}$。
第四步（代入已知量）：已知 $\frac{dA}{dt} = -0.5$（减少速率），$x = 7$。 $-0.5 = (2\pi \cdot 7) \times \frac{dx}{dt} \Rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{-0.5}{14\pi} = -\frac{1}{28\pi} \text{ mm/s}$。

2.1 更多历年真题示例

【隐函数求导题型 (Implicit Differentiation)】

这类题目要求对 $x$ 和 $y$ 混合的方程两边同时求导，通常涉及乘积法则 (Product Rule)。

2021年1月 Q6：给定曲线方程 $4y^2 + 3x = 6ye^{-2x}$，要求求出 $\frac{dy}{dx}$ 并计算在点 $P$ 处的法线方程。
2022年1月 Q1：曲线方程为 $xy^2 = x^2y + 6$，要求求出点 $P(2, 3)$ 处的切线方程，结果要求写成 $ax+by+c=0$ 形式。
2023年10月 Q5：给定 $y^3 - x^2 = 2xy - k$，已知正常数 $k > 1$，要求求导并结合法线方程 $y = x$ 逆推 $k$ 的值。
2024年6月 Q3：曲线定义为 $8x^3 + 2y^2 = 9xy^2$，要求寻找点 $(2, 5)$ 处的法线方程。

【参数方程求导题型 (Parametric Differentiation)】

这类题目要求利用链式法则 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ 求解切线或法线问题。

2018年样本卷 (Specimen) Q4：已知 $x = 3\sin 2t, y = 4\cos^2 t$，要求证明 $\frac{dy}{dx} = k \tan 2t$ 并求切线。
2024年1月 Q9：给定 $x = 3\sec^3 t, y = 6\tan t$，要求求出 $\frac{dy}{dx}$ 关于 $t$ 的表达式，并计算 $t = \frac{\pi}{3}$ 时的切线方程。

【变化率题型 (Rates of Change)】

考查某个物理量（如体积、面积、深度）随时间 $t$ 变化的速率，核心是建立导数间的链式关系。

2022年6月 Q3：药片溶解模型。已知圆柱形药片的横截面积正在以恒定速率减少，要求求半径 $x$ 随时间的变化率 $\frac{dx}{dt}$。
2024年6月 Q4：圆弓形面积模型。已知角度 $\theta$ 以恒定速率增加，要求证明面积 $A$ 的变化率 $\frac{dA}{d\theta}$ 的形式并计算特定的速率值。
2025年1月 Q5：金属降温模型。已知温度 $H = 280e^{-0.05t} + 24$，要求通过微分证明 $\frac{dH}{dt} = a + bH$ 的线性关系。

3. 考前复习总结：解题套路

隐函数"必看项"：只要看到 $x$ 和 $y$ 乘在一起（如 $xy, x^2y^2, e^{xy}$），必须使用乘积法则，这是隐函数求导大题的第一分。
法线 vs 切线：求梯度 $m = \frac{dy}{dx}$ 后，如果是求法线 (Normal)，务必使用垂直梯度 $m' = -\frac{1}{m}$。
对数求导技巧：对于形如 $y = x^{\sin x}$ 的题目，必须先两边取 $\ln$（$\ln y = \sin x \ln x$），再进行隐函数求导。
变化率计算器设置：如果变化率题目涉及三角函数（如圆锥摆动或角度变化），计算器必须始终保持在 RAD (弧度) 模式。

💡 考前避坑小贴士

求导就像是"剥洋葱"或"拆快递"：

参数求导：$x$ 和 $y$ 是两件独立的快递，你要分别拆开（对 $t$ 求导），最后用 $\frac{dy}{dt} \div \frac{dx}{dt}$ 把它们拼在一起。
隐函数求导：$x$ 和 $y$ 已经被胶水粘在一起了（如 $xy$），每当你对 $y$ 拆包时，旁边必须贴一个"易碎标签" $\frac{dy}{dx}$，否则整道题都会算错。
变化率：这是在算"拆包的速度"。如果你知道拆外层的时间，又知道内外层的大小关系，就能用链式法则算出里层变化的速度。

专家贴士：第五章是 P4 的"得分主力军"。隐函数和参数微分的步骤非常机械化，只要熟练掌握乘积法则和链式法则，这部分的 10-15 分是非常稳的。务必保证代入坐标计算梯度的最后一步不要出现简单的算术错误。