P3 & P4 复习手册

第一章：代数方法 (Algebraic Methods) 1-8

1.1 代数分式的基本运算 1

乘除法：关键在于因式分解 (Factorising)。
加减法：关键在于寻找最小公倍式 (LCM) 进行通分。

1.2 假分式 (Improper Fractions) 2

代数长除法 (Algebraic Long Division)。
待定系数法 (Equating Coefficients)。

1.3 历年真题全解析 3-7

假分式转化、高次假分式、四次项处理等典型题型。

第二章：函数与图像 (Functions and Graphs) 9-15

2.1 核心知识点梳理 9

绝对值函数与方程
映射与函数映射
复合函数 (Composite Functions)
反函数 (Inverse Functions)
图像变换组合 (Transformations)

2.2 历年真题全解析 10-13

绝对值与变换、反函数与交点、复合函数方程等典型题型。

2.3 考前一周：解题套路总结 14-15

值域与定义域的"传送门"、交点问题的"捷径"、单调性证明、绝对值不等式画图法。

第三章：三角函数 (Trigonometric Functions) 16-22

3.1 核心知识点梳理 16

倒数三角函数 (Reciprocal Trig Functions)
反三角函数 (Inverse Trig Functions)

3.2 历年真题全解析 17-20

基础方程、二次项方程、综合考查等典型题型。

3.3 考前一周：解题套路总结 21-22

"无脑"变回 $\sin/\cos$、判别式检查、反函数的"镜像"特征、弧度与角度切换。

第四章：三角恒等式与公式 (Trigonometric Identities) 23-30

4.1 核心知识点梳理 23

和角与差角公式
二倍角公式 (Double-angle Formulae)
$R\sin(\theta \pm \alpha)$ 或 $R\cos(\theta \mp \alpha)$ 形式

4.2 历年真题全解析 24-27

和角公式综合应用、二倍角与 $R$ 形式、恒等式证明与方程解等典型题型。

4.3 考前一周：解题套路总结 28-30

公式逆用、$R$ 形式的选择、证明题的切入点、精确值陷阱。

第五章：指数与对数 (Exponentials and Logarithms) 31-38

5.1 核心知识点梳理 31

指数函数与 $e$
自然对数 $\ln x$
非线性数据处理 (对数线性化)

5.2 历年真题全解析 32-35

非线性数据转换、细菌建模与增长率、模型解释等典型题型。

5.3 考前一周：解题套路总结 36-38

区分两种对数图、建模题的"初始值"、变化率 = 求导、计算器陷阱。

第六章：微分 (Differentiation) 39-46

6.1 核心知识点梳理 39

基础函数求导（三角函数、倒数三角函数、指数与对数、反三角函数）
三大核心法则（链式法则、乘积法则、商法则）

6.2 历年真题全解析 40-43

复合函数求导、乘积法则应用、商法则应用等典型题型。

6.3 考前一周：解题套路总结 44-46

法则选择顺序、计算器模式、过程分展示、常见错误规避。

第七章：积分 (Integration) 47-54

7.1 核心知识点梳理 47

基础函数与 $f(ax + b)$ 积分
利用三角恒等式积分
逆向链式法则 (Reverse Chain Rule)

7.2 历年真题全解析 48-51

三角恒等式积分、逆向链式法则应用、定积分计算等典型题型。

7.3 考前一周：解题套路总结 52-54

识别逆向链式法则、三角恒等式降次、定积分上下限处理、精确值要求。

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第一章：证明 (Proof) 1-6

1.1 核心方法：反证法 (Proof by Contradiction) 1

反证法的四个阶段：假设、推导、矛盾、结论。

1.2 历年典型题型解析 2-4

题型 A：曲线交点证明。
题型 B：奇偶性/整除性证明。
题型 C：代数不等式证明。

1.3 考前避坑套路总结 5-6

规范语言模板与计算器陷阱提醒。

第二章：部分分式 (Partial Fractions) 6-12

2.1 三大基础题型 7

基础线性分式 (Distinct Linear Factors)。
含有重复因子的分式 (Repeated Factors)。
假分式处理 (Improper Fractions)。

2.2 章节关联应用 6

作为二项式展开与积分的"开门砖"。

2.3 历年考题清单与计算技巧 8-12

涉及重复因子、假分式及综合建模题的真题解析。

第三章：直角坐标系中的坐标几何 (Coordinate Geometry) 12-19

3.1 参数方程核心概念 13

变量 $x$ 和 $y$ 受控于共同参数 $t$ 或 $\theta$。

3.2 Cartesian 方程转化（消元法） 13

代数消元法与三角恒等式消元。

3.3 定义域 (Domain) 与值域 (Range) 的确定 13

参数范围对 $x$ 和 $y$ 范围的影响。

3.4 参数微分与切线应用 13, 15-16

利用参数微分公式求解梯度及切线方程。

第四章：二项式展开 (Binomial Expansion) 19-26

4.1 标准展开式公式 19

处理指数 $n$ 为分数或负数的情况。

4.2 非标准形式的转化 20

对"1"的执念：提取因子以满足公式首项要求。

4.3 收敛域与近似值计算 20-21

有效范围 $|x| < 1$ 的判定及根式近似估算。

第五章：微分 (Differentiation) 26-33

5.1 参数方程求导 26, 29

利用链式法则求梯度、切线与法线。

5.2 隐函数求导 (Implicit Differentiation) 27-28

处理混变量方程及乘积法则 (Product Rule) 的应用。

5.3 变化率 (Rates of Change) 27, 29

几何体体积或表面积随时间变化的物理建模。

第六章：积分 (Integration) 33-42

6.1 高阶积分技术 34-35

换元积分法 (Substitution) 与分部积分法 (By Parts)。
结合部分分式的对数积分。

6.2 几何与物理建模 35

参数方程求曲线下面积。
旋转体体积计算（绕 $x$ 轴旋转 $360^\circ$）。

6.3 微分方程 (Differential Equations) 35-36

分离变量法及初始值特解求解。

第七章：向量 (Vectors) 42-49

7.1 向量基础与 3D 直线方程 43

位置向量与方向向量的区别。

7.2 标量积（点积）及其几何应用 43

夹角计算与垂直条件的判定。

7.3 直线位置关系判定 43

相交、平行与异面 (Skew) 的证明。

7.4 空间几何距离问题 43, 45-46

最短距离、垂足以及镜像点坐标的求解。

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