Chapter 6: Integration

题数：60 题

整理：成都何老师联系：AGB114

第251题

251. Evaluate $ \int (x^4 - 3x^2 + 1)\,dx $.

( A ) $ \frac{x^5}{5} - \frac{3x^3}{2} + x + C $

( B ) $ 4x^3 - 6x + C $

( C ) $ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + x + C $

( D ) $ \frac{x^5}{5} - x^3 + x + C $

第251题解答

解答

答案： ( D )

Apply power rule: $ \int (x^4 - 3x^2 + 1) dx = \frac{x^5}{5} - x^3 + x + C $ .

第252题

252. BC: Evaluate $ \int \frac{1}{x(x+2)} dx $.

( A ) $ \ln|x(x+2)| + C $

( B ) $ \frac{1}{2}\ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x+2| + C $

( C ) $ \frac{1}{2x^2(x+2)^2} + C $

( D ) $ \frac{1}{2}\ln|x(x+2)| + C $

第252题解答

解答

答案： ( B )

Partial fractions gives $ A=\frac{1}{2}, B=-\frac{1}{2} $; integrate to $ \frac{1}{2}\ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x+2| + C $ .

第253题

253. Evaluate $ \int \frac{1}{2}x^2\sin x^3\,dx $.

( A ) $ -\frac{1}{6}\cos x^3 + C $

( B ) $ -\frac{1}{6}x^3\cos x^3 + C $

( C ) $ \frac{1}{2}x^4\sin x + C $

( D ) $ \frac{1}{6}\cos x^3 + C $

第253题解答

解答

答案： ( A )

Let $ u = x^3 $, $ du = 3x^2 dx $; $ \int \frac{1}{6}\sin u\,du = -\frac{1}{6}\cos x^3 + C $ .

第254题

254. Evaluate $ \int \frac{1}{x^2+6x+13} dx $.

( A ) $ \ln|(x+3)^2+4| + C $

( B ) $ -\frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{x+3}{2} + C $

( C ) $ -(x^2+6x+13)^{-2} + C $

( D ) $ \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{x+3}{2} + C $

第254题解答

解答

答案： ( D )

Complete square; $ u=x+3 $ gives $ \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{x+3}{2} + C $ .

第255题

255. Evaluate $ \int \frac{x^2+3x-10}{x-2} dx $.

( A ) $ \ln|x-2|(\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-10x) + C $

( B ) $ \frac{x^3/3+3x^2/2-10x}{(x-2)^2} + C $

( C ) $ \frac{1}{2}x^2 + 5x + C $

( D ) $ (2x+3)\ln|x-2| + C $

第255题解答

解答

答案： ( C )

Factor numerator: $ (x+5)(x-2)/(x-2) = x+5 $; $ \int (x+5)dx = \frac{1}{2}x^2 + 5x + C $ .

第256题

256. Evaluate $ \int 2x\, e^{x^2+1} dx $.

( A ) $ x^2 e^{2x+1} + C $

( B ) $ e^{x^2+1} + C $

( C ) $ 4x^2 e^{2x+1} + C $

( D ) $ 2e^{2x} + C $

第256题解答

解答

答案： ( B )

Let $ u = x^2+1 $, $ du = 2x\,dx $; $ \int e^u du = e^{x^2+1} + C $ .

第257题

257. BC: Evaluate $ \int 3x\cos 3x\,dx $.

( A ) $ x\cos 3x - \frac{1}{3}\sin 3x + C $

( B ) $ \frac{1}{3}x\cos 3x - 3x\sin 3x + C $

( C ) $ \frac{1}{9}x\sin 3x + C $

( D ) $ x\sin 3x + \frac{1}{3}\cos 3x + C $

第257题解答

解答

答案： ( D )

Integration by parts gives $ x\sin 3x + \frac{1}{3}\cos 3x + C $ .

第258题

258. BC: Evaluate $ \int \frac{dx}{x^2-5x-6} $.

( A ) $ \frac{1}{7}\ln|x-6| - \frac{1}{7}\ln|x+1| + C $

( B ) $ \ln|x^2-5x-6| + C $

( C ) $ \frac{1}{3x^3} - \frac{1}{10x^2} - \frac{1}{6x} + C $

( D ) $ \frac{1}{6}\ln|x-6| - \frac{1}{6}\ln|x+1| + C $

第258题解答

解答

答案： ( A )

Partial fractions $ A=\frac{1}{7}, B=-\frac{1}{7} $; $ \frac{1}{7}\ln|x-6| - \frac{1}{7}\ln|x+1| + C $ .

第259题

259. BC: Evaluate $ \int e^x\sin x\,dx $.

( A ) $ -e^x\cos x + C $

( B ) $ e^x(\sin x+\cos x) + C $

( C ) $ \frac{1}{2}e^x(\cos x-\sin x) + C $

( D ) $ \frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x) + C $

第259题解答

解答

答案： ( D )

Integration by parts twice yields $ \frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x) + C $ .

第260题

260. Evaluate $ \int \frac{5x^2-2x+1}{x^2} dx $.

( A ) $ 5x - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{3x^3} + C $

( B ) $ \frac{5x^3/3 - x^2 + x}{x^3} + C $

( C ) $ 5x - 2\ln|x| + \frac{1}{x} + C $

( D ) $ -\frac{1}{3}x^3(\frac{5}{3}x^3-x^2+x) + C $

第260题解答

解答

答案： ( C )

$ \int (5 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2})dx = 5x - 2\ln|x| + \frac{1}{x} + C $ .

第261题

261. Evaluate $ \int (5\sec x)(2\tan x)\,dx $.

( A ) $ 10\sec x + C $

( B ) $ 10\sec^{-2}x + C $

( C ) $ -10\sec x + C $

( D ) $ 10\tan^2 x + C $

第261题解答

解答

答案： ( A )

$ \int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C $; so $ 10\sec x + C $ .

第262题

262. Evaluate $ \int 5^x dx $.

( A ) $ 5^x + C $

( B ) $ \frac{5^x}{\ln 5} + C $

( C ) $ \ln 5\cdot 5^x + C $

( D ) $ \frac{5^{x+1}}{x+1} + C $

第262题解答

解答

答案： ( B )

$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $; $ \int 5^x dx = \frac{5^x}{\ln 5} + C $ .

第263题

263. Find $ \int_2^4 \frac{x^2-9}{x-3} dx $.

( A ) 2

( B ) 6

( C ) The integral does not exist because the function is discontinuous at $ x=3 $.

( D ) 12

第263题解答

解答

答案： ( D )

Split at 3; $ \frac{x^2-9}{x-3} = x+3 $ on each subinterval; result 12 .

第264题

264. Evaluate $ \int \frac{x^2}{(x^3+1)^3} dx $.

( A ) $ \frac{x^3}{12(x^3+1)^4} + C $

( B ) $ \frac{x^3}{6(x^3+1)^2} + C $

( C ) $ -\frac{1}{12(x^3+1)^4} + C $

( D ) $ -\frac{1}{6(x^3+1)^2} + C $

第264题解答

解答

答案： ( D )

Let $ u = x^3+1 $; $ \frac{1}{3}\int u^{-3}du = -\frac{1}{6(x^3+1)^2} + C $ .

第265题

265. Find $ \frac{d}{dx}\int_{3x}^{x^4} \frac{1}{3-\ln t} dt $.

( A ) $ \frac{1}{3-\ln x^4} $

( B ) $ \frac{4x^3}{3-\ln x^4} $

( C ) $ \frac{1}{3-\ln x^4} - \frac{1}{3-\ln 3x} $

( D ) $ \frac{4x^3}{3-\ln x^4} - \frac{3}{3-\ln 3x} $

第265题解答

解答

答案： ( D )

FTC and chain rule: $ \frac{4x^3}{3-\ln x^4} - \frac{3}{3-\ln 3x} $ .

第266题

266. BC: Evaluate $ \int 3x\sec^2 x\,dx $.

( A ) $ \frac{3}{2}x^2\tan x + C $

( B ) $ 3x\tan x + C $

( C ) $ 3x\ln|\sec x| - 3\tan x + C $

( D ) $ 3x\tan x - 3\ln|\sec x| + C $

第266题解答

解答

答案： ( D )

Parts: $ u=3x, dv=\sec^2 x\,dx $; $ 3x\tan x - 3\ln|\sec x| + C $ .

第267题

267. Evaluate $ \int \frac{2x+3}{x} dx $.

( A ) $ -\frac{x^2+3x}{x^2} + C $

( B ) $ 3\ln|x| - 2x + C $

( C ) $ x^2+3x+3\ln|x| + C $

( D ) $ 2x + 3\ln|x| + C $

第267题解答

解答

答案： ( D )

$ \int (2 + \frac{3}{x})dx = 2x + 3\ln|x| + C $ .

第268题

268. Evaluate $ \int 7^{3x} dx $.

( A ) $ \frac{7^{3x}}{3\ln 7} + C $

( B ) $ \frac{1}{3}7^{3x} + C $

( C ) $ \frac{7^{3x}}{\ln 7} + C $

( D ) $ (3x+1)7^{3x+1} + C $

第268题解答

解答

答案： ( A )

Let $ u=3x $; $ \frac{1}{3}\int 7^u du = \frac{7^{3x}}{3\ln 7} + C $ .

第269题

269. BC: Evaluate $ \int \frac{dx}{x^2-4} $.

( A ) $ \frac{1}{4}\ln|x-2| + \frac{1}{4}\ln|x+2| + C $

( B ) $ \ln|x^2-4| + C $

( C ) $ \frac{1}{4}\ln|x-2| - \frac{1}{4}\ln|x+2| + C $

( D ) $ -\frac{1}{2}(x^2-4)^{-2} + C $

第269题解答

解答

答案： ( C )

Partial fractions $ A=\frac{1}{4}, B=-\frac{1}{4} $ give $ \frac{1}{4}\ln|x-2| - \frac{1}{4}\ln|x+2| + C $ .

第270题

270. Evaluate $ \frac{1}{2}\int 4^x\ln 4\,dx $.

( A ) $ \frac{4^x}{2\ln 4} + C $

( B ) $ \frac{1}{2}[4^x\ln 4 - \frac{4^{x+1}\ln 4}{x+1}] + C $

( C ) $ 4^x\ln 4 + C $

( D ) $ \frac{1}{2}4^x + C $

第270题解答

解答

答案： ( D )

$ \frac{1}{2}\ln 4\int 4^x dx = \frac{4^x\ln 4}{2\ln 4} + C = \frac{1}{2}4^x + C $ .

第271题

271. Evaluate $ \int (x^2 - \sin^2 x)\,dx $.

( A ) $ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}\sin^3 x + C $

( B ) $ \frac{1}{3}x^3(1-\sin 2x) + C $

( C ) $ \frac{1}{3}x^3(1-\cos 2x) + C $

( D ) $ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C $

第271题解答

解答

答案： ( D )

Use $ \sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2} $ to get $ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C $ .

第272题

272. Evaluate $ \int \frac{4}{x\sqrt{x^2-4}} dx $.

( A ) $ 2\sin^{-1}|x/2| + C $

( B ) $ \frac{1}{2}\sec^{-1}|x/2| + C $

( C ) $ 2\sec^{-1}|x/2| + C $

( D ) $ 4\ln|x| + 2\sec^{-1}|x/2| + C $

第272题解答

解答

答案： ( C )

Formula $ \int \frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}dx = \frac{1}{a}\sec^{-1}|x/a|+C $; with $ a=2 $ and factor 4 gives $ 2\sec^{-1}|x/2| + C $ .

第273题

273. Evaluate $ \int x(x-3)^3 dx $.

( A ) $ \frac{1}{5}(x-3)^5 + \frac{3}{4}(x-3)^4 + C $

( B ) $ \frac{1}{4}x(x-3)^4 + C $

( C ) $ \frac{1}{4}(x-3)^4 - (x-3)^3 + C $

( D ) $ \frac{1}{8}x^2(x-3)^4 + C $

第273题解答

解答

答案： ( A )

Let $ u=x-3 $, $ x=u+3 $; $ \int (u+3)u^3 du = \frac{u^5}{5}+\frac{3}{4}u^4 + C $ .

第274题

274. Evaluate $ \int 3x^2 e^{x^3-1} dx $.

( A ) $ x^3 e^{x^3-1} + C $

( B ) $ e^{x^3-1} + C $

( C ) $ 9x^2 e^{x^3-1} + C $

( D ) $ x^2 e^{3x^2} + C $

第274题解答

解答

答案： ( B )

Let $ u = x^3-1 $, $ du = 3x^2\,dx $; $ \int e^u du = e^{x^3-1} + C $ .

第275题

275. Evaluate $ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}} dx $.

( A ) $ \frac{1}{3}\sin^{-1}(x^3) + C $

( B ) $ \frac{1}{3}x^3\sin^{-1}(x^3) + C $

( C ) $ 3x\sec^{-1}(x^3) + C $

( D ) $ \frac{1}{3}x\sec^{-1}(x^3) + C $

第275题解答

解答

答案： ( A )

Let $ u=x^3 $; $ \frac{1}{3}\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{3}\sin^{-1}(x^3) + C $ .

第276题

276. BC: Evaluate $ \int x^2 e^{-x} dx $.

( A ) $ e^{-x}(2+2x-x^2) + C $

( B ) $ \frac{1}{3}x^3 e^{-x} + C $

( C ) $ -e^{-x}(x^2+2x+2) + C $

( D ) $ e^{-x}(x^2-2x-2) + C $

第276题解答

解答

答案： ( C )

Integration by parts twice yields $ -e^{-x}(x^2+2x+2) + C $ .

第277题

277. Evaluate $ \int 9^{3x} dx $.

( A ) $ \frac{1}{3}9^{3x} + C $

( B ) $ \frac{1}{3x}9^{3x} + C $

( C ) $ 3\frac{9^{3x}}{\ln 9} + C $

( D ) $ \frac{1}{3}\frac{9^{3x}}{\ln 9} + C $

第277题解答

解答

答案： ( D )

Let $ u=3x $; $ \frac{1}{3}\int 9^u du = \frac{9^{3x}}{3\ln 9} + C $ .

第278题

278. If $ f(x)=e^{2x} $ and $ f'(x)=2e^{2x} $, find $ \int_2^4 f'(x)\,dx $.

( A ) $ \frac{e^4(e^4-1)}{2} $

( B ) $ e^8 - e^4 $

( C ) $ 2e^4(e^4-1) $

( D ) $ 4e^4(e^4-1) $

第278题解答

解答

答案： ( B )

FTC: $ \int_2^4 f'(x)\,dx = f(4)-f(2) = e^8 - e^4 $ .

第279题

279. BC: Evaluate $ \int \sec^3 x\,dx $.

( A ) $ \ln|\sec x\tan x|^2 + C $

( B ) $ \frac{1}{4}\ln|\sec x+\tan x|^4 + C $

( C ) $ \frac{1}{2}(\sec x\tan x + \ln|\sec x+\tan x|) + C $

( D ) $ \frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x| + C $

第279题解答

解答

答案： ( C )

Parts and $ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 $; $ 2\int \sec^3 x = \sec x\tan x + \ln|\sec x+\tan x| + C $ .

第280题

280. Evaluate $ \int (x^4 + \frac{x}{9+x^4}) dx $.

( A ) $ \frac{1}{5}x^5 + \tan^{-1} x + C $

( B ) $ \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{6}\tan^{-1}(\frac{x^2}{3}) + C $

( C ) $ \frac{1}{5}x^5 + \sin(\frac{x^2}{3}) + C $

( D ) $ \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}\tan^{-1}(\frac{x^2}{3}) + C $

第280题解答

解答

答案： ( B )

Substitute $ u=x^2 $ in second term: $ \frac{1}{6}\tan^{-1}(\frac{x^2}{3}) + C $ .

第281题

281. Evaluate $ \int x(x-5)(x+2)\,dx $.

( A ) $ \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 10x + C $

( B ) $ \frac{1}{4}x^4 - 3x^3 - 10x^2 + C $

( C ) $ \frac{1}{4}x^4 - x^3 - 5x^2 + C $

( D ) $ -\frac{1}{2}x^2(x^2+3x+10) + C $

第281题解答

解答

答案： ( C )

Expand: $ x(x^2-3x-10) = x^3-3x^2-10x $; $ \int = \frac{1}{4}x^4 - x^3 - 5x^2 + C $ .

第282题

282. Evaluate $ \int \frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx $.

( A ) $ -2\cos\sqrt{x} + C $

( B ) $ -\frac{1}{2}\cos\sqrt{x} + C $

( C ) $ -\frac{1}{2}\frac{\cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + C $

( D ) $ -\frac{3}{2}\frac{\cos\sqrt{x}}{\sqrt{x^3}} + C $

第282题解答

解答

答案： ( A )

Let $ u=\sqrt{x}=x^{1/2} $, $ du = \frac{1}{2}x^{-1/2}dx $; $ 2\int \sin u\,du = -2\cos\sqrt{x} + C $ .

第283题

283. Evaluate $ \int \frac{3x^2+x-6}{x^2} dx $.

( A ) $ \ln(x^2)(x^3+\frac{1}{2}x^2-6x) + C $

( B ) $ \frac{x^3+x^2/2-6}{x^3} + C $

( C ) $ 3x + \ln|x| - \frac{6}{x} + C $

( D ) $ 3x + \ln|x| + \frac{6}{x} + C $

第283题解答

解答

答案： ( D )

$ \int (3 + \frac{1}{x} - 6x^{-2})dx = 3x + \ln|x| + \frac{6}{x} + C $ .

第284题

284. Evaluate $ \int 2x\sqrt{1+x^2}\,dx $.

( A ) $ -\frac{2}{\sqrt{1+x^2}} + C $

( B ) $ -\frac{2}{3\sqrt{(1+x^2)^3}} + C $

( C ) $ -\frac{2}{x^2\sqrt{1+x^2}} + C $

( D ) $ \frac{2}{3}(1+x^2)^{3/2} + C $

第284题解答

解答

答案： ( D )

Let $ u=1+x^2 $, $ du=2x\,dx $; $ \int u^{1/2}du = \frac{2}{3}(1+x^2)^{3/2} + C $ .

第285题

285. BC: Evaluate $ \int \frac{3x+5}{x^2+3x-4} dx $.

( A ) $ -\frac{5}{4}x + C $

( B ) $ \frac{x^3/3+3x^2/2+5x}{x^3/3+3x^2/2-4x} + C $

( C ) $ \frac{8}{5}\ln|x+4| - \frac{7}{5}\ln|x-1| + C $

( D ) $ \frac{7}{5}\ln|x+4| + \frac{8}{5}\ln|x-1| + C $

第285题解答

解答

答案： ( D )

Partial fractions: $ \frac{3x+5}{(x+4)(x-1)} = \frac{A}{x+4}+\frac{B}{x-1} $ gives $ A=\frac{7}{5}, B=\frac{8}{5} $; integrate.

第286题

286. Evaluate $ \int e^{5x-1} dx $.

( A ) $ (5x-1)e^{5x-1} + C $

( B ) $ \frac{1}{5}e^{5x-1} + C $

( C ) $ \frac{1}{5}e^{5x} + C $

( D ) $ \frac{e^{5x}}{5x} + C $

第286题解答

解答

答案： ( B )

Let $ u=5x-1 $, $ du=5\,dx $; $ \frac{1}{5}\int e^u du = \frac{1}{5}e^{5x-1} + C $ .

第287题

287. Evaluate $ \int 21^{3x} dx $.

( A ) $ \frac{1}{3}\ln(21)\,21^{3x} + C $

( B ) $ (3x)21^{3x} + C $

( C ) $ \frac{21^{3x}}{3\ln(21)} + C $

( D ) $ \frac{1}{3}21^{3x} + C $

第287题解答

解答

答案： ( C )

Let $ u=3x $, $ du=3\,dx $; $ \frac{1}{3}\int 21^u du = \frac{21^{3x}}{3\ln(21)} + C $ .

第288题

288. Evaluate $ \int x(x-1)^6 dx $.

( A ) $ \frac{1}{7}x(x-1)^7 + C $

( B ) $ \frac{1}{14}x(x-1)^7 + C $

( C ) $ \frac{1}{14}x^2(x-1)^7 + C $

( D ) $ \frac{1}{8}(x-1)^8 + \frac{1}{7}(x-1)^7 + C $

第288题解答

解答

答案： ( D )

Let $ u=x-1 $, $ x=u+1 $; $ \int (u+1)u^6 du = \frac{u^8}{8}+\frac{u^7}{7}+C $; replace $ u $ .

第289题

289. Evaluate $ \int e^x(1-e^{2x})\,dx $.

( A ) $ e^x - \frac{1}{3}e^{3x} + C $

( B ) $ (e^x-1)(1-e^{2x}) + C $

( C ) $ e^x - 1 + C $

( D ) $ \frac{1}{3}e^x(1-e^{2x}) + C $

第289题解答

解答

答案： ( A )

$ \int e^x dx - \int e^{3x}dx $; for second use $ u=3x $; get $ e^x - \frac{1}{3}e^{3x} + C $ .

第290题

290. Evaluate $ \int \ln(e^{x^2-x+1})\,dx $.

( A ) $ \ln|e^{x^2-x+1}| + C $

( B ) $ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x + C $

( C ) $ x^2 - x + 1 + C $

( D ) $ e^{x^2-x+1} + C $

第290题解答

解答

答案： ( B )

$ \ln(e^{x^2-x+1}) = x^2-x+1 $; $ \int (x^2-x+1)dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x + C $ .

第291题

291. Evaluate $ \int \frac{x^2}{x^3+1} dx $.

( A ) $ \frac{1}{3}x^3\ln|x^3+1| + C $

( B ) $ x^2\ln|x^3+1| + C $

( C ) $ \frac{1}{3}\ln|x^3+1| + C $

( D ) $ \frac{1}{3}x^3\frac{1}{(x^3+1)^2} + C $

第291题解答

解答

答案： ( C )

Let $ u=x^3+1 $, $ du=3x^2\,dx $; $ \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}du = \frac{1}{3}\ln|x^3+1| + C $ .

第292题

292. BC: Evaluate $ \int \sin^4 x\,dx $.

( A ) $ \frac{1}{4}(x-\frac{1}{2}\sin(2x)) + C $

( B ) $ -\cos x\sin^3 x - \frac{1}{2}\sin(2x) + C $

( C ) $ -\cos x\sin^3 x + \frac{3x}{2} - \frac{3\sin(2x)}{4} + C $

( D ) $ -\frac{1}{4}\cos x\sin^3 x + \frac{3x}{8} - \frac{3}{8}\sin x\cos x + C $

第292题解答

解答

答案： ( D )

Parts and $ \cos^2 x=1-\sin^2 x $; combine to $ 4\int\sin^4 x = -\cos x\sin^3 x + 3\int\sin^2 x\,dx $ .

第293题

293. BC: Evaluate $ \int \frac{\ln x}{4x} dx $.

( A ) $ \frac{1}{8}(\ln x)^2 + C $

( B ) $ \frac{1}{4}\ln(x^2) + C $

( C ) $ \frac{1}{4}(\ln x)^2 + C $

( D ) $ \frac{1}{4}x\ln|x|(\ln|x|-1) + C $

第293题解答

解答

答案： ( A )

Let $ u=\ln x $, $ du=\frac{1}{x}dx $; $ \frac{1}{4}\int u\,du = \frac{1}{8}(\ln x)^2 + C $ .

第294题

294. Evaluate $ \int \frac{1}{x^2-6x+13} dx $.

( A ) $ \ln|x^2-6x+13| + C $

( B ) $ \frac{1}{3}\sin^{-1}\frac{x-3}{2} + C $

( C ) $ \frac{1}{3}\tan^{-1}\frac{x-3}{3} + C $

( D ) $ \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{x-3}{2} + C $

第294题解答

解答

答案： ( D )

Complete square $ (x-3)^2+4 $; $ u=x-3 $ gives $ \frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{x-3}{2} + C $ .

第295题

295. Evaluate $ \int \csc^2 x\cot x\,dx $.

( A ) $ -\frac{1}{2}\cot x + C $

( B ) $ -2\csc x + C $

( C ) $ -\frac{1}{2}\cot^2 x + C $

( D ) $ -2\csc^2 x + C $

第295题解答

解答

答案： ( C )

Let $ u=\cot x $, $ du=-\csc^2 x\,dx $; $ -\int u\,du = -\frac{1}{2}\cot^2 x + C $ .

第296A题

296A. BC 296. Slope of $ f(x) $ is $ \frac{x-3}{x^2-3x-4} $ and $ (5,\frac{4}{5}\ln 6) $ is on the graph. (A) Write an equation of the tangent line at $ x=5 $.

第296A题解答

解答

At $ x=5 $, $ f'(5) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $. Tangent: $ y - \frac{4}{5}\ln 6 = \frac{1}{3}(x-5) $ so $ y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{5}\ln 6 - \frac{5}{3} $ .

第296B题

296B. BC 296. (B) Use the tangent line to approximate $ f(4.5) $ to the nearest thousandth.

第296B题解答

解答

$ f(4.5) \approx \frac{1}{3}(4.5) - \frac{5}{3} + \frac{4}{5}\ln 6 \approx 1.267 $ .

第296C题

296C. BC 296. (C) Find the antiderivative of $ \frac{df}{dx} = \frac{x-3}{x^2-3x-4} $ with $ f(5) = \frac{4}{5}\ln 6 $.

第296C题解答

解答

Partial fractions: $ f(x) = \frac{1}{5}\ln|x-4| + \frac{4}{5}\ln|x+1| + C $; $ f(5)=\frac{4}{5}\ln 6 $ gives $ C=0 $ .

第296D题

296D. BC 296. (D) Use part (c) to find $ f(4.5) $ to the nearest thousandth.

第296D题解答

解答

$ f(4.5) = \frac{1}{5}\ln(0.5) + \frac{4}{5}\ln(5.5) \approx 1.225 $ .

第297A题

297A. 297. A particle has acceleration $ a(t) = 1 + \frac{1}{\sqrt{t}} $. (A) Find $ v(t) $.

第297A题解答

解答

$ v(t) = \int (1 + t^{-1/2})\,dt = t + 2t^{1/2} + C $; with given initial condition (e.g. $ v(1)=4 $) gives $ v(t) = t + 2t^{1/2} + 2 $ .

第297B题

297B. 297. (B) Find the position function $ s(t) $.

第297B题解答

解答

$ s(t) = \int (t + 2t^{1/2} + 2)\,dt = \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t^{3/2} + 2t + C $; with $ s(0)=10 $ gives $ s(t) = \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t^{3/2} + 2t + 10 $ .

第298A题

298A. 298. Bacteria population grows at rate $ 200 + 9\sqrt{t} - 5t $ per hour. (A) Find $ P(t) $ as antiderivative of the growth rate.

第298A题解答

解答

$ P(t) = \int (200 + 9t^{1/2} - 5t)\,dt = 200t + 6t^{3/2} - \frac{5}{2}t^2 + C $ .

第298B题

298B. 298. (B) If $ P(0) = 2{,}000 $, find $ C $.

第298B题解答

解答

$ P(0) = C = 2{,}000 $ .

第298C题

298C. 298. (C) Find the population after $ t = 4 $ h.

第298C题解答

解答

$ P(4) = 800 + 48 - 40 + 2{,}000 = 2{,}808 $ .

第299A题

299A. 299. Marginal revenue $ MR = 100 - 0.5q $. (A) Find total revenue (antiderivative of MR).

第299A题解答

解答

$ MR_{\text{total}} = \int (100 - 0.5q)\,dq = 100q - \frac{1}{4}q^2 + C $; $ C=0 $ so $ 100q - \frac{1}{4}q^2 $ .

第299B题

299B. 299. (B) How many goods for total revenue $10,000?

第299B题解答

解答

$ 10{,}000 = 100q - \frac{1}{4}q^2 $ gives $ (q-200)^2 = 0 $ so $ q = 200 $ .

第299C题

299C. 299. (C) At what production does revenue begin to decrease?

第299C题解答

解答

When $ MR = 0 $: $ 100 - 0.5q = 0 $ so $ q = 200 $ .

第300A题

300A. 300. Density of 6 m rod is $ \rho(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} $ kg/m. (A) Find $ m(x) $ as antiderivative of $ \rho(x) $.

第300A题解答

解答

$ m(x) = \int \frac{3}{2}\sqrt{x}\,dx = x^{3/2} + C $; $ m(0)=0 $ gives $ m(x)=x^{3/2} $ .

第300B题

300B. 300. (B) Mass 2 m from left end, to nearest tenth kg?

第300B题解答

解答

$ m(2) = 2^{3/2} = \sqrt{8} $ kg $ \approx 2.83 $ kg .

第300C题

300C. 300. (C) Total mass of rod to nearest tenth kg?

第300C题解答

解答

At $ x=6 $: $ m(6) = 6^{3/2} = \sqrt{216} $ kg $ \approx 14.7 $ kg .