英国数学信托(United Kingdom Mathematics Trust)

高级数学挑战赛

由英国数学信托基金(United Kingdom Mathematics Trust)主办，精算师学院(Faculty Institute of Actuaries)支持 解答与探究

2019年11月7日

这些解答补充了同样可在线获取的简短解答。为方便起见，简短解答被压缩在四页之内，因此往往省略细节。此处给出的解答为完整解答，如下文所述。某些情况下还提供了替代解法。此外，还附有大量供进一步探究的附加问题。我们欢迎对这些解答及附加问题提出意见，请发送至enquiry@ukmt.org.uk。

高级数学挑战赛(SMC)是一份选择题试卷。每道题给出五个选项，其中仅有一个正确。因此，你常常可以通过从给定选项倒推，或证明其中四个选项不正确，来找出正确答案。在SMC的情境下，这样做是明智的。

然而，这并不能提供一种完整的数学解释，倘若你仅拿到题目而没有任何备选答案，这样的解释是无法令人信服的。因此，我们力求为每道题给出完整解答，每一步都加以说明(或偶尔留作练习)，且不预设任何给定选项为正确。我们希望这些解答能成为范例，展示在数学竞赛(例如英国数学奥林匹克[British Mathematical Olympiad]、女子数学奥林匹克[Mathematical Olympiad for Girls]及类似赛事)中提交完整解答时所应呈现的书面表达形式。

这些解答可在贵校或学院内自由使用。无需额外许可，您即可将其发布于仅限本校教职员工与学生访问的网站、在校内或学院内打印并分发纸质副本，以及在课堂上使用。若您希望以其他方式使用，请先与我们联系。© UKMT 2019年11月

有关高级数学挑战赛(Senior Mathematical Challenge)的咨询请发送至:

SMC(Senior Mathematical Challenge，高级数学挑战赛)、英国数学信托基金会、数学学院

利兹大学，利兹 LS2 9JT

& 0113 343 2339 enquiry@ukmt.org.uk www.ukmt.org.uk

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\( \begin{array}{lllllllllllllllllllllllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & {10} & {11} & {12} & {13} & {14} & {15} & {16} & {17} & {18} & {19} & {20} & {21} & {22} & {23} & {24} & {25} \end{array} \)

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解决方案

评论

SMC 是一份禁止使用计算器的试卷。这应当提示你，比起分别计算 123² 和 23² 再做减法，一定存在更巧妙的解法。

能够不用计算器算出 \( {123}^{2} - {23}^{2} \) 并不值得夸耀，但其背后“把平方差 \( {x}^{2} - {y}^{2} \) 因式分解为 \( \left( {x - y}\right) \left( {x + y}\right) \)”的方法极为有用，应当牢记。

我们按如下方式计算 \( {123}^{2} - {23}^{2} \)。

\[ {123}^{2} - {23}^{2} = \left( {{123} - {23}}\right) \left( {{123} + {23}}\right) \]

\[ = {100} \times {146} \]

\[ = {14600}\text{.} \]

供探究

(a) \( {57}^{2} - {43}^{2} \) ,

(b) \( {203}^{2} - {197}^{2} \) ,

(c) \( {2019}^{2} - {2018}^{2} \) .

\[ {a}^{2} = {b}^{2} + {2019} \]

\[ {x}^{4} - {y}^{4}\text{.} \]

SOLUTION

我们先计算最内层括号，再逐步向外求值。

\[ \left( {{2019} - \left( {{2000} - \left( {{10} - 9}\right) }\right) }\right) - \left( {{2000} - \left( {{10} - \left( {9 - {2019}}\right) }\right) }\right) \]

\[ = \left( {{2019} - \left( {{2000} - 1}\right) }\right) - \left( {{2000} - \left( {{10} - \left( {-{2010}}\right) }\right) }\right) \]

\[ = \left( {{2019} - \left( {{2000} - 1}\right) }\right) - \left( {{2000} - \left( {{10} + {2010}}\right) }\right) \]

\[ = \left( {{2019} - {1999}}\right) - \left( {{2000} - {2020}}\right) \]

\[ = \left( {{2019} - {1999}}\right) - \left( {-{20}}\right) \]

\[ = {20} + {20} \]

\[ = {40}\text{.} \]

供探究

(a) \( \left( {5 - \left( {4 - \left( {3 - \left( {2 - 1}\right) }\right) }\right) }\right) - \left( {1 - \left( {2 - \left( {3 - \left( {4 - 5}\right) }\right) }\right) }\right) \) 和

(b) \( \left( {6 - \left( {5 - \left( {4 - \left( {3 - \left( {2 - 1}\right) }\right) }\right) }\right) }\right) - \left( {1 - \left( {2 - \left( {3 - \left( {4 - \left( {5 - 6}\right) }\right) }\right) }\right) }\right) \) ?

下列哪一项约等于1密耳(mil)？

一个 \( \frac{1}{40}\mathrm{\;{mm}} \) 两个 \( \frac{1}{25}\mathrm{\;{mm}} \) 三个 \( \frac{1}{4}\mathrm{\;{mm}} \) 四个 \( {25}\mathrm{\;{mm}} \) 五个 \( {40}\mathrm{\;{mm}} \)

解决方案

1密耳(mil)等于1英寸的千分之一。1英寸约为\( {2.5}\mathrm{\;{cm}} \)，即\( {25}\mathrm{\;{mm}} \)。因此1密耳(mil)约为\( \frac{25}{1000}\mathrm{\;{mm}} \)，即\( \frac{1}{40}\mathrm{\;{mm}} \)。

供调查

SOLUTION

我们有\( {n}^{2} + {2n} = n\left( {n + 2}\right) \)。因此\( {n}^{2} + {2n} \)可被\( n \)整除。于是，为使\( {n}^{2} + {2n} \)为素数，\( n \)只能取值为1。

当\( n = 1 \)时，我们得到\( {n}^{2} + {2n} = 3 \)，这是一个素数。

因此，只有一个正整数值的\( n \)使得\( {n}^{2} + {2n} \)为素数。

奥利夫完成这项任务所需的最少颜色数是多少？

解答

如果奥利夫只用一种颜色，那么每个圆都会与三个同色圆相连。因此一种颜色不够。

然而，如图所示，仅用两种颜色即可给圆着色，使得每个白色圆仅与一个白色圆相连，每个黑色圆也仅与一个黑色圆相连。

因此，奥利夫所需的最少颜色数为两种。

深入探究

樱桃完成这项任务所需的最少颜色数是多少？

\( x \)的值是多少？

设\( P \)为每行三个数的共同乘积，则\( P \times P \times P \)为所有三行数的总乘积，因此\( {P}^{3} \)为100的所有因数的乘积。

因为\( {100} = {2}^{2} \times {5}^{2} \)，它有九个因数\( 1,{2}^{1} = 2,{2}^{2} = 4,{5}^{1} = 5,{2}^{1}{5}^{1} = {10},{2}^{2}{5}^{1} = {20} \)、\( {5}^{2} = {25},{2}^{1}{5}^{2} = {50} \)和\( {2}^{2}{5}^{2} = {100} \)。这些因数的乘积为

\[ 1 \times {2}^{1} \times {2}^{2} \times {5}^{1} \times {2}^{1}{5}^{1} \times {2}^{2}{5}^{1} \times {2}^{1}{5}^{2} \times {5}^{2} \times {2}^{2}{5}^{2} = {2}^{1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2} \times {5}^{1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2} \]

\[ = {2}^{9} \times {5}^{9}\left( { = {10000000000}}\right) \text{.} \]

由此可得

\[ {P}^{3} = {2}^{9} \times {5}^{9} \]

因此\( P = {2}^{3} \times {5}^{3} = {1000} \)。

从第一行我们得到

\[ x \times 1 \times {50} = {1000} \]

因此\( x = {20} \)。

NOTE

在SMC(英国数学挑战赛)的语境下，无需验证是否可以用100的所有因数填满方格，以满足每行、每列及每条对角线上三个数乘积均相等的条件；然而，练习6.1要求你完成这一验证。

还需注意，我们的解并未用到因数2的位置。练习6.1要求你证明:若2位于左下角，则只有一种方式可填满方格。

供探究

露西用这种方法能得到的最小值是多少？

为使\( \frac{p}{q} + \frac{r}{s} \)的值尽可能小，\( q \)和\( s \)需尽可能大，故取3和4。

因此，露西能得到的最小值表达式为\( \frac{1}{3} + \frac{2}{4} \)或\( \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \)。现在，

\[ \frac{1}{3} + \frac{2}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \]

\[ < \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \]

\[ = \frac{2}{3} + \frac{1}{4}\text{.} \]

于是，露西能得到的最小值为

\[ \frac{1}{3} + \frac{2}{4} = \frac{4 + 6}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}. \]

供调查使用

露西用这种方法能得到的最小值是多少？

“为了使\( \frac{p}{q} + \frac{r}{s} \)的值尽可能小，\( q \)和\( s \)需要尽可能大”是正确的。8. 数字\( x \)是方程\( {3}^{\left( {3}^{x}\right) } = {333} \)的解。以下哪一项为真？A \( 0 < x < 1 \) B \( 1 < x < 2 \) C \( 2 < x < 3 \) D \( 3 < x < 4 \) E \( 4 < x < 5 \) 解答

3的前几个幂次是

\[ {3}^{1} = 3,{3}^{2} = 9,{3}^{3} = {27},{3}^{4} = {81},{3}^{5} = {243}\text{ and }{3}^{6} = {729}. \]

因为\( {3}^{\left( {3}^{x}\right) } = {333} \)，所以

\[ {3}^{5} < {3}^{\left( {3}^{x}\right) } < {3}^{6} \]

因此

\[ 5 < {3}^{x} < 6\text{.} \]

因此

\[ {3}^{1} < {3}^{x} < {3}^{2} \]

因此

\[ 1 < x < 2\text{.} \]

供调查

将一张正方形纸对折四次，得到一个更小的正方形，然后如图所示剪掉一个角。

下列哪一项可能是纸张展开后的样子？解答

每次将这张正方形纸对折，纸的层数就会翻倍。因此，折叠四次后，共有16层。

因此，当这个角被移除时，总共移除了16个四分之一圆。

因此，若这些四分之一圆在纸张展开后能拼成完整的圆，它们将构成四个完整的圆。

由此可知，在题目给出的选项中，选项\( \mathrm{D} \)是唯一可能的答案。

注

在SMC(Senior Mathematical Challenge，高级数学挑战赛)的语境下，只需证明选项\( \mathrm{D} \)是唯一可能的即可。若要给出完整答案，还需证明选项D的图案确实可以实现。下图即展示了这一点:只要被移除的四分之一圆均不来自纸张边缘，展开后的纸张就会形成选项D的图案。

供探究

SOLUTION

方框中陈述的反例是指一个\( n \)的值，使得“\( {6n} - 1 \)和\( {6n} + 1 \)中至少有一个为素数”这一命题不成立；也就是说，该\( n \)的值使得\( {6n} - 1 \)和\( {6n} + 1 \)都不是素数。

下表列出了\( n = {10},{19},{20},{21} \)和30对应的\( {6n} - 1 \)与\( {6n} + 1 \)的值。

\( n \)	\( {6n} - 1 \)	\( {6n} + 1 \)
10	59	61
19	113	115
20	119	121
21	165	167
30	179	181

非素数的\( {6n} - 1 \)和\( {6n} + 1 \)的值以粗体显示。

因此我们看到，对于\( n = {20} \)，\( {6n} - 1 \)和\( {6n} + 1 \)都不是素数。因此\( n = {20} \)给出了所需的反例。

供探究

当且仅当\( {200} - \sqrt{k} \)为平方数时，\( \sqrt{{200} - \sqrt{k}} \)才是整数。

现在\( 0 \leq {200} - \sqrt{k} \leq {200} \)。在此范围内有15个平方数，即\( {n}^{2} \)，其中\( n \)为整数且\( 0 \leq n \leq {14} \)。

我们有\( {200} - \sqrt{k} = {n}^{2} \)，当且仅当\( k = {\left( {200} - {n}^{2}\right) }^{2} \)。

因此有15个整数值的\( k \)使得\( \sqrt{{200} - \sqrt{k}} \)为整数，即\( k = {\left( {200} - {n}^{2}\right) }^{2} \)，其中\( 0 \leq n \leq {14} \)。

菱形的面积是多少？

设\( P, Q, R \)和\( S \)为菱形的顶点。

我们把证明菱形的对角线平分菱形的角且互相垂直的任务留给读者(见练习12.1)。

设\( O \)为矩形对角线\( {PR} \)与\( {QS} \)的交点。

我们同样把证明四个三角形\( {POQ},{QOR},{ROS} \)与\( {SOP} \)全等(见练习12.1)以及\( O \)是圆心(见练习12.2)的任务留给读者。

设\( K \)为\( {PQ} \)与圆的切点，则\( {OK} = 1 \)。因为圆的半径与过半径端点的切线垂直，所以\( \angle {PKO} = {90}^{ \circ } \)。

由直角三角形\( {PKO} \)可得

\[ \frac{OK}{OP} = \sin {30}^{ \circ } = \frac{1}{2} \]

因此，由于\( {OK} = 1 \)，可得\( {OP} = 2 \)。

因为\( \angle {POQ} = {90}^{ \circ } \)，由三角形\( {POQ} \)可得\( \angle {OQK} = {60}^{ \circ } \)，于是

\[ \frac{OK}{OQ} = \sin {60}^{ \circ } = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

因此\( {OQ} = \frac{2}{\sqrt{3}} \)。

于是三角形\( {POQ} \)的面积为

\[ \frac{1}{2}\left( {{OP} \times {OQ}}\right) = \frac{1}{2}\left( {2 \times \frac{2}{\sqrt{3}}}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}. \]

因此，由于菱形由四个与三角形POQ全等的三角形组成，

菱形的面积为

\[ 4 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}. \]

注:参见练习12.4，了解记忆\( \sin \left( {30}^{ \circ }\right) \)与\( \sin \left( {60}^{ \circ }\right) \)值的方法。

供探究

(b) 由此推出菱形的对角线平分菱形的角且互相垂直。

那么\( {30}^{ \circ },{60}^{ \circ },{90}^{ \circ } \)三角形的最短边为1。

(a) 使用勾股定理验证该三角形的第三边长度为\( \sqrt{3} \)。

(b) 利用此三角形验证\( \sin \left( {30}^{ \circ }\right) = \frac{1}{2} \)和\( \sin {60}^{ \circ } = \frac{\sqrt{3}}{2} \)。

(c) 利用此三角形求出\( \cos \left( {30}^{ \circ }\right) ,\tan \left( {30}^{ \circ }\right) ,\cos \left( {60}^{ \circ }\right) \)和\( \tan \left( {60}^{ \circ }\right) \)的值。

阿尼什有多少块瓷砖？

SOLUTION

因为阿尼什拼成边长为\( n \)的正方形后剩下64块，所以他共有\( {n}^{2} + {64} \)块瓷砖。

因为阿尼什拼成边长为\( n + 1 \)的正方形时缺少25块，所以他共有\( {\left( n + 1\right) }^{2} - {25} \)块瓷砖。

因此\( {n}^{2} + {64} = {\left( n + 1\right) }^{2} - {25} \)。现在

\[ {n}^{2} + {64} = {\left( n + 1\right) }^{2} - {25} \Leftrightarrow {n}^{2} + {64} = \left( {{n}^{2} + {2n} + 1}\right) - {25} \]

\[ \Leftrightarrow {2n} = {64} + {25} - 1 \]

\[ \Leftrightarrow {2n} = {88} \]

\[ \Leftrightarrow n = {44}\text{.} \]

因为\( n = {44} \)，阿尼什拥有的瓷砖数量由\( {44}^{2} + {64} = {1936} + {64} = {2000} \)给出。供探究

阿尼什有多少块瓷砖？

阿尼什有多少个立方体？

解答

评注

如果你熟悉较小\( n \)值对应的\( n \)!(阶乘)的数值，就能像方法1那样迅速找出答案。如果不熟悉，则可采用更系统的方法，如方法2所示，先求出10!的质因数分解。

方法1

我们有

\[ {10}! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times {10} \]

\[ = \left( {1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6}\right) \times 7 \times \left( {8 \times 9 \times {10}}\right) \]

\[ = 6! \times 7 \times \left( {8 \times 9 \times {10}}\right) \]

\[ = 6! \times 7 \times {720} \]

\[ = 6! \times 7 \times 6! \]

\[ = {\left( 6!\right) }^{2} \times 7\text{.} \]

由此可知，\( {\left( 6!\right) }^{2} \)是10!的最大平方因子。

METHOD 2

我们有

\[ {10}! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times {10} \]

\[ = 1 \times 2 \times 3 \times {2}^{2} \times 5 \times \left( {2 \times 3}\right) \times 7 \times {2}^{3} \times {3}^{2} \times \left( {2 \times 5}\right) \]

\[ = {2}^{8} \times {3}^{4} \times {5}^{2} \times 7 \]

\[ = {\left( {2}^{4} \times {3}^{2} \times 5\right) }^{2} \times 7\text{.} \]

由此可知，\( {2}^{4} \times {3}^{2} \times 5 \)是10!的最大平方因子。现在\( {2}^{4} \times {3}^{2} \times 5 = {720} = 6 \)!，因此\( {\left( 6!\right) }^{2} \)是10!的最大平方因子。

供探究

\( Q + R + S \) 的最小可能值是多少？

我们用 \( \operatorname{HCF}\left( {X, Y}\right) \) 表示两个整数 \( X \) 和 \( Y \) 的最大公因数(highest common factor)。

假设 \( \operatorname{HCF}\left( {Q, R}\right) = a,\operatorname{HCF}\left( {Q, S}\right) = b \) 和 \( \operatorname{HCF}\left( {R, S}\right) = c \)，其中 \( a, b \) 和 \( c \) 是三个不同的质数。

由此可知，\( a \) 和 \( b \) 都是 \( Q \) 的因数。因此 \( Q \) 的最小可能值是 \( {ab} \)。同理，\( R \) 和 \( S \) 的最小可能值分别为 \( {ac} \) 和 \( {bc} \)。

我们要求 \( Q + R + S \) 的最小可能值，即 \( {ab} + {ac} + {bc} \) 的最小可能值，其中 \( a, b \) 和 \( c \) 是不同的质数。为此，我们选取最小的三个质数 2、3 和 5，按某种顺序赋值。

由于 \( {ab} + {ac} + {bc} \) 在 \( a, b \) 和 \( c \) 中是对称的，顺序无关紧要。取 \( a = 2, b = 3 \) 和 \( c = 5 \)，我们得到

\[ {ab} + {ac} + {bc} = 2 \times 3 + 2 \times 5 + 3 \times 5 = 6 + {10} + {15} = {31}. \]

我们推断 \( Q + R + S \) 的最小可能值是 31。

供探究

\( Q + R + S + T \) 的最小可能值是多少？

解答

评注

\( x, y \)与\( z \)的均值为\( \frac{1}{3}\left( {x + y + z}\right) \)。因此，要回答此问题，我们需要求出\( x + y + z \)的值。我们仅得到关于三个未知数\( x \)、\( y \)和\( z \)的两个方程。由此可见，若这些方程有解，则必有无穷多解。

一种系统性的解题方法是利用这两个方程，将其中两个未知数用第三个未知数表示。例如，我们可以用\( z \)表示\( x \)和\( y \)，从而用\( z \)表示\( x + y + z \)。

然而，题目的措辞暗示\( x + y + z \)与\( z \)无关。因此，一个良好的起点是尝试利用给定的两个方程，在不需用\( z \)表示\( x \)和\( y \)的情况下，求出\( x + y + z \)的值。我们已知

\[ {9x} + {3y} - {5z} = - 4 \tag{1} \]

以及

\[ {5x} + {2y} - {2z} = {13} \tag{2} \]

若将方程(2)乘以2，再减去方程(1)，我们得到

\[ 2\left( {{5x} + {2y} - {2z}}\right) - \left( {{9x} + {3y} - {5z}}\right) = 2\left( {13}\right) - \left( {-4}\right) , \]

即

\[ {10x} + {4y} - {4z} - {9x} - {3y} + {5z} = {26} + 4, \]

即

\[ x + y + z = {30}. \]

我们推断出\( \frac{1}{3}\left( {x + y + z}\right) = {10} \)。

因此，\( x, y \)与\( z \)的均值为10。

供探究

(b) 利用你在(a)中的答案，证明对于所有\( x \)的值，均有\( x + y + z = {30} \)。

Jeroen列表中所有整数的乘积是多少？

\[ \text{B}\frac{{2019} \times {2020}}{2}\text{C}{2}^{2019} \]

解答

在2019个连续正整数的列表中，至少有一个数大于或等于2019，因此这些整数的和将大于2019。所以Jeroen列表中的整数并非全为正数。

2019个负整数的和为负数，因此不可能等于2019。所以Jeroen列表中的整数并非全为负数。

我们推断Jeroen的连续整数列表中同时包含负数和正数。由于列表中的整数是连续的，因此其中必有一个数为0。

因此Jeroen列表中所有数的乘积为0。供探究17.1 注意我们无需找出2019个连续整数且和为2019的列表即可回答此问题。证明仅存在唯一一组2019个连续整数的和为2019，并找出该列表。

\( \alpha \)的值是多少？

设正方形的顶点为\( P, Q, R \)和\( S \)，如图所示。设\( T \)为\( P \)折叠后的位置，\( U \)和\( V \)为图中标示的点。

由于折叠后三角形\( {PSV} \)与三角形\( {TSV} \)重合，这两个三角形全等。特别地，\( {TS} = {PS} \)与\( \angle {PSV} = \angle {TSV} \)。

因此\( {SUT} \)是一个在\( U \)处为直角的三角形，且\( {SU} = \frac{1}{2}{SR} = \frac{1}{2}{PS} = \frac{1}{2}{TS} \)。由此可得[见练习12.4]\( \angle {TSU} = {60}^{ \circ } \)。

由于\( \angle {USP} = {90}^{ \circ } \)和\( \angle {PSV} = \angle {TSV} \)，因此\( \angle {TSV} = \frac{1}{2}{\left( {90} - {60}\right) }^{ \circ } = {15}^{ \circ } \)。

因此，由于三角形\( {TSV} \)的内角和为\( {180}^{ \circ } \)，我们有

\[ \alpha + {15} + {90} = {180} \]

从而\( \alpha = {75} \)。供探究

将纸片沿直线\( {TU} \)对折，然后展开。

接着，将纸片沿直线\( {SV} \)穿过\( S \)折叠，使角\( P \)落在第一条折线\( {TU} \)上的点\( {P}^{\prime } \)处。

(a) 证明\( \angle {SV}{P}^{\prime } = {60}^{ \circ } \)。

(b) 说明当比值\( {PQ} : {QR} \)足够大时，如何将矩形纸片\( {PQRS} \)折叠成一个等边三角形。

SOLUTION

我们有\( \sin \left( {0}^{2}\right) = \sin \left( 0\right) = 0 \)。方程\( {y}^{2} = 0 \)只有一个解，即\( y = 0 \)。因此点(0,0)位于\( {y}^{2} = \sin \left( {x}^{2}\right) \)的图像上，且图像上不存在形如(0, b)且\( b \neq 0 \)的点。这排除了选项\( \mathrm{D} \)。

若坐标为(a, b)的点在图像上，则\( {b}^{2} = \sin \left( {a}^{2}\right) \)。因此也有\( {\left( -b\right) }^{2} = \sin \left( {a}^{2}\right) \)。故坐标为(a,-b)的点也在图像上。

换言之，\( {y}^{2} = \sin \left( {x}^{2}\right) \)的图像关于\( x \)-轴对称。这排除了选项B和E的图像。

存在\( x \)的正值使得\( \sin \left( x\right) < 0 \)。例如，设\( a > 0 \)且\( \sin \left( a\right) < 0 \)。则\( \sin \left( {\left( \sqrt{a}\right) }^{2}\right) < 0 \)，因此对任何实数\( y \)都不等于\( {y}^{2} \)。即不存在\( y \)的值使得坐标为\( \left( {\sqrt{a}, y}\right) \)的点位于图像上。

换言之，图像并非对所有\( x \)的值都有定义。这排除了选项\( \mathrm{C} \)。[注意，该论证也可用于排除选项B和E。]

因此，选项\( \mathrm{A} \)是唯一可能的图像。

供探究

(a) \( y = \sin \left( {x}^{2}\right) \) ,

(b) \( y = \cos \left( {x}^{2}\right) \) ,

(c) \( {y}^{2} = \cos \left( {x}^{2}\right) \) ,

(d) \( y = {\sin }^{2}\left( x\right) \) ,

(e) \( y = {\cos }^{2}\left( x\right) \) ,

(f) \( {y}^{2} = {\sin }^{2}\left( {x}^{2}\right) \) ,

(g) \( {y}^{2} = {\cos }^{2}\left( {x}^{2}\right) \) .

\( \angle {ZXY} \)是多少？

SOLUTION

设\( \angle {ZXY} = {x}^{ \circ } \)。

三角形\( {POX} \)是等腰三角形，因为\( {OP} \)和\( {OX} \)是半圆的半径，因此相等。于是\( \angle {OPX} = \)\( \angle {OXP} = {x}^{ \circ } \)。

由于\( \angle {APZ} \)与\( \angle {OPX} \)为对顶角，\( \angle {APZ} = \angle {OPX} = {x}^{ \circ } \)。

因它是等边三角形的一个角，\( \angle {ZAP} = {60}^{ \circ } \)。

现在对三角形\( {AZP} \)应用外角定理，可得\( \angle {YZX} = \angle {ZAP} + \angle {APZ} = {\left( {60} + x\right) }^{ \circ }. \)

因为\( {XY} = {XZ} \)，三角形\( {XYZ} \)为等腰三角形，因此\( \angle {ZYX} = \)\( \angle {YZX} = {\left( {60} + x\right) }^{ \circ }. \)

我们现在对三角形\( {XYZ} \)应用三角形内角和为\( {180}^{ \circ } \)的性质。于是得到

\[ x + \left( {{60} + x}\right) + \left( {{60} + x}\right) = {180}. \]

因此

\[ {3x} + {120} = {180} \]

于是\( x = {20} \)，从而\( \angle {ZXY} = {20}^{ \circ } \)。供探究

它们之间的最短距离是多少米？

SOLUTION

设\( L \)为瓢虫在\( t \)分钟后到达的点，则\( {QL} = {30t}\mathrm{\;{cm}} \)。正方形边长为\( {10}\mathrm{\;m} \)，即\( {1000}\mathrm{\;{cm}} \)。因此\( {LR} \)的长度为\( \left( {{1000} - {30t}}\right) \mathrm{{cm}} \)。

设\( S \)为蜘蛛在\( t \)分钟后到达的点，则\( {RS} = {40t}\mathrm{\;{cm}} \)。

设\( {LS} \)的长度为\( x\mathrm{\;{cm}} \)，这是瓢虫与蜘蛛在\( t \)分钟后的距离。

因为\( {PQRT} \)是一个正方形，\( \angle {LRS} = {90}^{ \circ } \)。对三角形\( {LRS} \)应用勾股定理，我们有

\[ {x}^{2} = {\left( {1000} - {30}t\right) }^{2} + {\left( {40}t\right) }^{2} \]

\[ = {1000000} - {60000t} + {900}{t}^{2} + {1600}{t}^{2} \]

\[ = {2500}{t}^{2} - {60000t} + {1000000} \]

\[ = {2500}\left( {{t}^{2} - {24t} + {400}}\right) \]

\[ = {2500}\left( {{\left( t - {12}\right) }^{2} + {256}}\right) \text{.} \]

因为对所有\( t \)的值都有\( {\left( t - {12}\right) }^{2} \geq 0 \)，所以对所有\( t \)的值都有\( {x}^{2} \geq {2500} \times {256} \)。由于当\( t = {12} \)时\( {x}^{2} = {2500} \times {256} \)，因此\( {x}^{2} \)的最小值为\( {2500} \times {256} \)。于是\( x \)的最小值为\( \sqrt{{2500} \times {256}} \)，即\( {50} \times {16} \)，也就是800。因此瓢虫与蜘蛛之间的最短距离为\( {800}\mathrm{\;{cm}} \)，即\( 8\mathrm{\;m} \)。

供探究

这种方法适用于二次函数，但不适用于其他函数。微分学为我们提供了一种求函数最大值和最小值的通用方法。如果你已经学过微积分，请用它求\( {t}^{2} - {24t} + {400} \)的最小值。

将\( n = 0 \)代入方程

\[ \left( {n - {2019}}\right) f\left( n\right) - f\left( {{2019} - n}\right) = {2019} \tag{1} \]

得到

\[ - {2019f}\left( 0\right) - f\left( {2019}\right) = {2019} \tag{2} \]

由此可得

\[ f\left( {2019}\right) = - {2019f}\left( 0\right) - {2019}. \tag{3} \]

将\( n = {2019} \)代入方程(1)得

\[ - f\left( 0\right) = {2019} \tag{4} \]

因此

\[ f\left( 0\right) = - {2019} \tag{5} \]

将(5)代入(3)得

\[ f\left( {2019}\right) = - {2019} \times - {2019} - {2019} \]

\[ = {2019} \times {2019} - {2019} \]

\[ = {2019}\left( {{2019} - 1}\right) \]

\[ = {2019} \times {2018}\text{.} \]

因此，\( f\left( {2019}\right) \) 的值为 \( {2018} \times {2019} \)。

供探究

该截面的面积是多少？

解答

通过点 \( Y, T, V \) 和 \( W \) 的平面还与立方体的棱相交于点 \( U \) 和 \( X \)，如图所示。

我们留作练习，请验证点 \( U \) 和 \( X \) 也是它们所在棱的中点。

因此，相关截面是六边形 \( {TUVWXY} \)。我们首先证明这是一个正六边形。

设 \( P \) 和 \( Q \) 为立方体的顶点，如图所示。对直角三角形 \( {TPY} \) 应用勾股定理，得 \( T{Y}^{2} = \) \( P{T}^{2} + P{Y}^{2} = {1}^{2} + {1}^{2} = 2 \)。因此 \( {TY} = \sqrt{2} \)。类似地，六边形 \( {TUVWXY} \) 的每条边长均为 \( \sqrt{2} \)。

对直角三角形 \( {TPQ} \) 应用勾股定理，得 \( Q{T}^{2} = P{T}^{2} + P{Q}^{2} = {1}^{2} + {2}^{2} = 5 \)。三角形 \( {TXQ} \) 在 \( Q \) 处为直角，因为立方体的顶面与通过 \( Q \) 和 \( X \) 的棱垂直。因此，由勾股定理，\( T{X}^{2} = Q{T}^{2} + Q{X}^{2} = 5 + {1}^{2} = 6 \)。故 \( {TX} = \sqrt{6} \)。

于是，在三角形 \( {TXY} \) 中，我们有 \( {TY} = {YX} = \sqrt{2} \) 和 \( {TX} = \sqrt{6} \)。我们留作练习，请验证由此可得 \( \angle {TYX} = {120}^{ \circ } \)。类似地，\( {TUVWXY} \) 的每个角均为 \( {120}^{ \circ } \)。因此，该六边形为正六边形。

正六边形 \( {TUVWXY} \) 可分成六个全等的等边三角形，每个边长为 \( \sqrt{2} \)。

我们留作练习，请验证边长为 \( s \) 的等边三角形面积为 \( \frac{\sqrt{3}}{4}{s}^{2} \)。因此，边长为 \( \sqrt{2} \) 的等边三角形面积为

\[ \frac{\sqrt{3}}{4}{\left( \sqrt{2}\right) }^{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

因此，横截面的面积为\( 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \)。

注:上述解法中要求你验证的事实，已作为练习23.1、23.2和23.3列于下方。

供探究

我们以\( O \)为原点建立三维坐标系，其\( x \)-轴、\( y \)-轴和\( z \)-轴如图所示。

在该坐标系中，点\( T \)的坐标为(1,0,2)。

(a) 求该坐标系中点\( Y \)和\( V \)的坐标。

(b) 三维空间中平面的方程形式为\( {ax} + {by} + {cz} = d \)，其中\( a, b, c \)和\( d \)为常数。

求通过所有点\( T, Y \)和\( V \)的平面方程。

(c) 由此验证:通过点\( T, Y \)和\( V \)的平面亦通过点\( W \)。

(d) 利用通过点\( T, Y \)和\( V \)的平面方程，求点\( U \)和\( X \)的坐标，并推证\( U \)和\( X \)为其所在棱的中点。

解答

评注

初读此题，人们往往会觉得在不使用计算器的情况下计算乘积\( {xyz} \)将极其复杂，考虑到SMC的时间限制，跳过此题似乎是明智之举。

然而，你可能会意识到，既然这是SMC的题目，很可能存在更巧妙的解法。

由于\( x, y \)和\( z \)的表达式中包含大量平方根，一个巧妙的方法可能是分别计算\( {x}^{2},{y}^{2} \)和\( {z}^{2} \)，从而求出\( {x}^{2}{y}^{2}{z}^{2} \)，它等于\( {\left( xyz\right) }^{2} \)。令人惊讶的是，这种方法确实行之有效。我们有

\[ {x}^{2} = {\left( \sqrt{{12} - 3\sqrt{7}} - \sqrt{{12} + 3\sqrt{7}}\right) }^{2} \]

\[ = {\left( \sqrt{{12} - 3\sqrt{7}}\right) }^{2} - 2\left( \sqrt{{12} - 3\sqrt{7}}\right) \left( \sqrt{{12} + 3\sqrt{7}}\right) + {\left( \sqrt{{12} + 3\sqrt{7}}\right) }^{2} \]

\[ = {\left( \sqrt{{12} - 3\sqrt{7}}\right) }^{2} - 2\sqrt{\left( \left( {12} - 3\sqrt{7}\right) \left( {12} + 3\sqrt{7}\right) \right) } + {\left( \sqrt{{12} + 3\sqrt{7}}\right) }^{2} \]

\[ = {\left( \sqrt{{12} - 3\sqrt{7}}\right) }^{2} - 2\left( \sqrt{{12}^{2} - {\left( 3\sqrt{7}\right) }^{2}}\right) + {\left( \sqrt{{12} + 3\sqrt{7}}\right) }^{2} \]

\[ = \left( {{12} - 3\sqrt{7}}\right) - 2\sqrt{{144} - {63}} + \left( {{12} + 3\sqrt{7}}\right) \]

\[ = \left( {{12} - 3\sqrt{7}}\right) - 2\sqrt{81} + \left( {{12} + 3\sqrt{7}}\right) \]

\[ = {24} - 2 \times 9 \]

\[ = 6\text{.} \]

我们留作练习，请类似地验证\( {y}^{2} = {12} \)和\( {z}^{2} = 2 \)。由此可得\( {\left( xyz\right) }^{2} = {x}^{2}{y}^{2}{z}^{2} = 6 \times {12} \times 2 = {144} \)。因此\( {xyz} \)等于12或-12。

因为\( {12} - 3\sqrt{7} < {12} + 3\sqrt{7} \)，我们得到\( x < 0 \)。类似地，\( y < 0 \)和\( z > 0 \)。因此\( {xyz} > 0 \)。我们得出结论:\( {xyz} = {12} \)。

供探究

正方形的面积是多少？

\[ \text{A}2 - \frac{\sqrt{7}}{2} \]

解答

设\( O \)和\( P \)为两圆的圆心，\( Q, R, S \)和\( T \)为正方形的顶点，\( U \)和\( V \)为直线\( {OP} \)与正方形边的交点，如图所示。

设\( x \)为正方形的边长。

点\( V \)是\( {ST} \)的中点，因此\( {VT} = \frac{1}{2}x \)

因为\( {OT} \)和\( {OP} \)是以\( O \)为圆心的圆的半径，所以\( {OT} = {OP} = 1 \)。

因为\( {OP} = 1 \)和\( {UV} = {QT} = x \)，所以\( {OU} + {VP} = 1 - x \)。由于\( {OU} = {VP} \)，因此\( {OU} = \frac{1}{2}\left( {1 - x}\right) \)。于是\( {OV} = {OU} + {UV} = \frac{1}{2}\left( {1 - x}\right) + x = \frac{1}{2}\left( {1 + x}\right) \)。

因此，对直角三角形\( {OVT} \)应用勾股定理(Pythagoras’ Theorem)，我们得到\( O{V}^{2} + \)\( V{T}^{2} = O{T}^{2} \)。即\( {\left( \frac{1}{2}\left( 1 + x\right) \right) }^{2} + {\left( \frac{1}{2}x\right) }^{2} = {1}^{2} \)。该方程展开得\( \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}{x}^{2} + \frac{1}{4}{x}^{2} = 1 \)。最后一个方程可整理为\( 2{x}^{2} + {2x} - 3 = 0 \)。

于是，根据二次方程求根公式，\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + {24}}}{4} = \frac{1}{2}\left( {-1 \pm \sqrt{7}}\right) \)。因为\( x > 0 \)，我们推得\( x = \frac{1}{2}\left( {-1 + \sqrt{7}}\right) \)。

因此，正方形的面积由下式给出

\[ {x}^{2} = {\left( \frac{1}{2}\left( -1 + \sqrt{7}\right) \right) }^{2} = \frac{1}{4}\left( {1 - 2\sqrt{7} + 7}\right) = \frac{1}{4}\left( {8 - 2\sqrt{7}}\right) = 2 - \frac{\sqrt{7}}{2}. \]

供探究

(a) 点\( V \)是\( {ST} \)的中点。

(b) \( {OU} = {VP} \) .

(c) \( \angle {OVT} = {90}^{ \circ } \) .