知识点总结 / Knowledge Summary
具有端点 \(\left( x_1, y_1 \right)\) 和 \(\left( x_2, y_2 \right)\) 的线段的中点是 \(\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\)。
The midpoint of a line segment with endpoints \(\left( x_1, y_1 \right)\) and \(\left( x_2, y_2 \right)\) is \(\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\)。
中点公式 / Midpoint Formula：
\[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]
求 \(A(2, 5)\) 和 \(B(8, 11)\) 的中点：
中点 = \(\left( \frac{2+8}{2}, \frac{5+11}{2} \right) = (5, 8)\)
线段 \({AB}\) 的垂直平分线是垂直于 \({AB}\) 并通过 \({AB}\) 中点的直线。
The perpendicular bisector of a line segment \({AB}\) is the straight line that is perpendicular to \({AB}\) and passes through the midpoint of \({AB}\)。
垂直条件 / Perpendicular Condition：
如果两条直线互相垂直，它们的斜率满足：\(m_1 \cdot m_2 = -1\)
求垂直平分线方程的四步法：
中点公式 / Midpoint Formula：
\[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]
斜率公式 / Gradient Formula：
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
垂直条件 / Perpendicular Condition：
\[ m_1 \cdot m_2 = -1 \]
点斜式 / Point-Slope Form：
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
求垂直平分线斜率：
如果原斜率 = \(2\)，则垂直斜率 = \(-\frac{1}{2}\)
错误做法：垂直斜率 = \(-2\) ❌
正确做法：垂直斜率 = \(-\frac{1}{2}\) ✅
问题：证明三角形三条边的垂直平分线交于一点（外心）。
思路：利用垂直平分线的性质，证明三条垂直平分线都通过同一个点，这个点就是三角形外接圆的圆心。
通过本节的学习，你应该能够：
为进一步学习做准备：