知识点总结
中文：因式定理指出：如果 \((x - a)\) 是多项式 \(f(x)\) 的一个因式，那么 \(f(a) = 0\)。反之，如果 \(f(a) = 0\)，那么 \((x - a)\) 是 \(f(x)\) 的一个因式。
English: The Factor Theorem states: If \((x - a)\) is a factor of polynomial \(f(x)\), then \(f(a) = 0\). Conversely, if \(f(a) = 0\), then \((x - a)\) is a factor of \(f(x)\).
\((x - a)\) 是 \(f(x)\) 的因式 \(\iff f(a) = 0\)
因式定理的基本形式
中文：使用因式定理进行多项式因式分解时，通常遵循以下步骤：首先寻找可能的根，然后用因式定理验证，最后进行多项式除法求出剩余的因式。
English: When using the Factor Theorem for polynomial factorization, typically follow these steps: first find possible roots, then verify using the Factor Theorem, and finally perform polynomial division to find the remaining factors.
如果 \(f(a) = 0\)，那么 \(f(x) = (x - a) \cdot Q(x)\)
其中 \(Q(x)\) 是多项式除法的商式
中文：对于整系数多项式，如果存在有理根 \(\frac{p}{q}\)，那么 \(p\) 必须整除常数项，\(q\) 必须整除最高次项系数。这个定理帮助我们缩小寻找范围。
English: For polynomials with integer coefficients, if a rational root \(\frac{p}{q}\) exists, then \(p\) must divide the constant term and \(q\) must divide the leading coefficient. This theorem helps narrow down the search range.
可能的有理根：\(\frac{p}{q}\)，其中 \(p \mid a_0\) 且 \(q \mid a_n\)
\(a_0\) 是常数项，\(a_n\) 是最高次项系数
中文：完全因式分解是指将多项式分解为不可约因式的乘积。对于三次多项式，通常先找到一个线性因式，然后将剩余部分分解为二次因式或继续分解。
English: Complete factorization means decomposing a polynomial into a product of irreducible factors. For cubic polynomials, typically find a linear factor first, then decompose the remaining part into quadratic factors or continue factoring.
三次多项式：\(f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)\)
完全分解为三个线性因式
学习提示
中文：在学习因式定理时，要特别注意以下几点：
1. 正确理解定理的条件和结论
2. 熟练掌握多项式求值的方法
3. 练习各种类型多项式的因式分解
4. 注意验证分解结果的正确性
English: When learning the Factor Theorem, pay special attention to:
1. Correctly understand the conditions and conclusions of the theorem
2. Master the method of polynomial evaluation
3. Practice factorization of various types of polynomials
4. Verify the correctness of factorization results