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形如 \(f(x) = a^x\) 的函数，其中 \(a\) 是常数，称为指数函数。你应该熟悉这些函数及其图像的形状。
函数 \(f(x) = a^x\)，其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)，称为以 \(a\) 为底的指数函数。
在表达式 \(a^x\) 中，\(x\) 可以称为指数、幂或指数。
指数函数的基本性质：
1. 当 \(a > 1\) 时，函数是增函数
2. 当 \(0 < a < 1\) 时，函数是减函数
3. 所有指数函数都经过点 \((0, 1)\)
4. \(x\) 轴是函数的水平渐近线
让我们看看 \(y = 2^x\) 的函数值表：
| \(x\) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \(y\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | 1 | 2 | 4 | 8 |
当 \(x\) 减小时，\(2^x\) 的值趋向于 0；当 \(x\) 增大时，\(2^x\) 的值无限增长。
题目：在同一坐标系中画出 \(y = 3^x\)、\(y = 2^x\) 和 \(y = 1.5^x\) 的图像。
解答：
对于所有三个图像，当 \(x = 0\) 时，\(y = 1\)（因为 \(a^0 = 1\)）。
当 \(x > 0\) 时，\(3^x > 2^x > 1.5^x\)。
当 \(x < 0\) 时，\(3^x < 2^x < 1.5^x\)。
每当 \(a > 1\) 时，\(f(x) = a^x\) 是增函数。在这种情况下，当 \(x\) 增大时，\(a^x\) 的值无限增长；当 \(x\) 减小时，\(a^x\) 的值趋向于 0。
题目：在另一组坐标系中画出 \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) 和 \(y = 2^x\) 的图像。
解答：
\(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) 的图像是 \(y = 2^x\) 的图像关于 \(y\) 轴的反射。
因为 \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\)，所以 \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x = \left(2^{-1}\right)^x = 2^{-x}\)。
每当 \(0 < a < 1\) 时，\(f(x) = a^x\) 是减函数。在这种情况下，当 \(x\) 增大时，\(a^x\) 的值趋向于 0；当 \(x\) 减小时，\(a^x\) 的值无限增长。
题目：画出 \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-3}\) 的图像，并给出图像与 \(y\) 轴交点的坐标。
解答：
如果 \(f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\)，那么 \(y = f(x-3)\)。
图像是 \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) 的图像沿向量 \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) 的平移。
图像与 \(y\) 轴相交时 \(x = 0\)：
\(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{0-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 8\)
图像与 \(y\) 轴相交于点 \((0, 8)\)。
我们也可以将这个图像看作是 \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) 图像的垂直拉伸：
\(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \times \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \times 8 = 8\left(\frac{1}{2}\right)^x = 8f(x)\)
所以 \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-3}\) 的图像是 \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) 的图像以比例因子 8 的垂直拉伸。
在绘制指数函数图像时要注意：
通过本节的学习，你应该能够：