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你可以使用对数和你计算器来求解形如 \(a^x = b\) 的方程。这种方法在解决指数方程时非常有用，特别是当方程中的指数是未知数时。
用对数解方程：对于形如 \(a^x = b\) 的方程，可以通过取对数来求解，即 \(x = \log_a b\)。
用对数解方程的基本方法：
1. 对于简单指数方程 \(a^x = b\)，直接使用 \(x = \log_a b\)
2. 对于复杂指数方程，先化简再取对数
3. 对于二次指数方程，使用换元法
4. 对于不同底数的方程，使用"两边取对数"的方法
\(a^x = b \Rightarrow x = \log_a b\)
用对数解指数方程的基本公式
题目：求解以下方程，答案保留3位小数
a) \(3^x = 20\) b) \(5^{4x-1} = 61\)
解答：
a) \(3^x = 20\)
所以 \(x = \log_3 20 = 2.727\)
使用计算器上的 \(\log_{\square} \square\) 按钮。
b) \(5^{4x-1} = 61\)
所以 \(4x - 1 = \log_5 61\)
\(4x = \log_5 61 + 1\)
\(x = \frac{\log_5 61 + 1}{4} = 0.889\)
可以在计算器上一步计算出最终答案。
题目：求解方程 \(5^{2x} - 12(5^x) + 20 = 0\)，答案保留3位有效数字
解答：
\(5^{2x} - 12(5^x) + 20\) 是关于 \(5^x\) 的二次函数
另一种方法是使用换元 \(y = 5^x\)：
\(y^2 - 12y + 20 = 0\)
\((5^x - 10)(5^x - 2) = 0\)
\(5^x = 10\) 或 \(5^x = 2\)
\(5^x = 10 \Rightarrow x = \log_5 10 \Rightarrow x = 1.43\)
\(5^x = 2 \Rightarrow x = \log_5 2 \Rightarrow x = 0.431\)
注意：求解二次方程会得到 \(5^x\) 的两个可能值，确保计算两个对应的 \(x\) 值。
题目：求解方程 \(3^x = 2^{x+1}\)，答案保留4位小数
解答：
\(3^x = 2^{x+1}\)
这一步称为"两边取对数"。两边的对数必须使用相同的底数。
\(\log 3^x = \log 2^{x+1}\)
这里"log"表示 \(\log_{10}\)。
\(x\log 3 = (x + 1)\log 2\)
使用幂法则。
\(x\log 3 = x\log 2 + \log 2\)
\(x\log 3 - x\log 2 = \log 2\)
\(x(\log 3 - \log 2) = \log 2\)
将所有含 \(x\) 的项移到一边，然后因式分解。
\(x = \frac{\log 2}{\log 3 - \log 2} = 1.7095\)
在用对数解方程时，要特别注意以下几点：
1. 确保底数 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)
2. 真数 \(b > 0\)，负数没有对数
3. 两边取对数时，必须使用相同的底数
4. 对于二次指数方程，要计算所有可能的解
5. 注意答案的精度要求
通过本节的学习，你应该能够：