3.5 Changing the Base of a Logarithm - 知识点总结

推导步骤

换底公式的推导过程：

• 步骤1：设 \(\log_a x = m\)
• 步骤2：写成幂的形式：\(a^m = x\)
• 步骤3：对不同的底数 \(b\) 取对数：\(\log_b a^m = \log_b x\)
• 步骤4：使用幂法则：\(m\log_b a = \log_b x\)
• 步骤5：将 \(m\) 写成 \(\log_a x\)：\(\log_a x \times \log_b a = \log_b x\)
• 步骤6：得到换底公式：\(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}\)

特殊情况推导

倒数关系的推导：

当 \(x = b\) 时：\(\log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a} = \frac{1}{\log_b a}\)

这个结果说明：如果两个对数的底数和真数互换，那么它们互为倒数。

倒数关系

当两个对数的底数和真数互换时：

\(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\)

这个关系在解对数方程时非常有用。

链式法则

对于连续的对数运算：

\(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\)

这个性质可以简化复杂的对数表达式。

掌握程度自测

通过以下问题检查你的学习效果：

• 你能推导换底公式吗？
• 你能使用换底公式计算对数吗？
• 你能应用换底公式解方程吗？
• 你能证明对数的性质吗？
• 你能解决综合应用问题吗？
• 你能避免常见错误吗？