阶乘记号练习与巩固
计算以下阶乘：
a) \(4!\)
b) \(9!\)
c) \(\frac{10!}{7!}\)
d) \(\frac{15!}{13!}\)
使用阶乘的定义：\(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1\)
对于分数形式的阶乘，可以先约分再计算。
a) \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
b) \(9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880\)
c) \(\frac{10!}{7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720\)
d) \(\frac{15!}{13!} = \frac{15 \times 14 \times 13!}{13!} = 15 \times 14 = 210\)
不使用计算器，计算以下组合：
a) \(\binom{4}{2}\)
b) \(\binom{6}{4}\)
c) \({}^6 C_3\)
d) \(\binom{5}{4}\)
e) \({}^10 C_8\)
f) \(\binom{9}{5}\)
使用组合公式：\({}^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
利用对称性：\({}^n C_r = {}^n C_{n-r}\)
a) \(\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6\)
b) \(\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{720}{48} = 15\)
c) \({}^6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{720}{36} = 20\)
d) \(\binom{5}{4} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{120}{24} = 5\)
e) \({}^10 C_8 = {}^10 C_2 = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2} = 45\)
f) \(\binom{9}{5} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{362880}{2880} = 126\)
使用计算器计算以下组合：
a) \(\binom{15}{6}\)
b) \({}^10 C_7\)
c) \(\binom{20}{10}\)
d) \(\binom{20}{17}\)
e) \({}^14 C_9\)
f) \({}^18 C_5\)
使用计算器的 \({}^n C_r\) 功能进行计算。
注意计算精度和结果的有效数字。
使用计算器计算：
a) \(\binom{15}{6} = 5005\)
b) \({}^10 C_7 = 120\)
c) \(\binom{20}{10} = 184756\)
d) \(\binom{20}{17} = 1140\)
e) \({}^14 C_9 = 2002\)
f) \({}^18 C_5 = 8568\)
计算帕斯卡三角形第12行第5个数字。
帕斯卡三角形第 \(n\) 行第 \(r\) 个数字由 \({}^n C_r\) 给出。
注意第 \(n\) 行第 \(r\) 个数字实际上是 \({}^n C_{r-1}\)。
帕斯卡三角形第12行第5个数字 = \({}^11 C_4\)
\({}^11 C_4 = \frac{11!}{4!7!} = \frac{39916800}{24 \times 5040} = \frac{39916800}{120960} = 330\)
因此第12行第5个数字是330
帕斯卡三角形第11行显示如下：
\(1 \quad 10 \quad 45 \quad \ldots \quad \ldots\)
a) 找出这一行的下两个值。
b) 因此找出 \((1 + 2x)^{10}\) 展开式中 \(x^3\) 的系数。
利用帕斯卡三角形的性质：第 \(n\) 行的系数对应 \((a+b)^n\) 的展开系数。
第 \(n\) 行第 \(r\) 个数字是 \({}^n C_r\)。
a) 第11行的下两个值：
第4个数字 = \({}^10 C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = \frac{3628800}{30240} = 120\)
第5个数字 = \({}^10 C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{3628800}{24 \times 720} = \frac{3628800}{17280} = 210\)
b) \((1 + 2x)^{10}\) 展开式中 \(x^3\) 的系数：
系数 = \({}^10 C_3 \times 2^3 = 120 \times 8 = 960\)
帕斯卡三角形第14行显示如下：
\(1 \quad 13 \quad 78 \quad \ldots \quad \ldots\)
a) 找出这一行的下两个值。
b) 因此找出 \((1 + 3x)^{13}\) 展开式中 \(x^4\) 的系数。
利用帕斯卡三角形的性质和组合公式。
注意二项式展开中系数的计算方法。
a) 第14行的下两个值：
第4个数字 = \({}^13 C_3 = \frac{13!}{3!10!} = \frac{6227020800}{6 \times 3628800} = \frac{6227020800}{21772800} = 286\)
第5个数字 = \({}^13 C_4 = \frac{13!}{4!9!} = \frac{6227020800}{24 \times 362880} = \frac{6227020800}{8709120} = 715\)
b) \((1 + 3x)^{13}\) 展开式中 \(x^4\) 的系数：
系数 = \({}^13 C_4 \times 3^4 = 715 \times 81 = 57915\)
抛掷一枚公平硬币20次，恰好得到10个正面的概率由下式给出：
\(\binom{20}{10} \times 0.5^{20}\)
计算这个概率并描述这种情况发生的可能性。
使用计算器计算组合值。
注意 \(0.5^{20} = \frac{1}{2^{20}}\)
概率 = \(\binom{20}{10} \times 0.5^{20} = 184756 \times 0.5^{20}\)
\(0.5^{20} = \frac{1}{2^{20}} = \frac{1}{1048576}\)
概率 = \(184756 \times \frac{1}{1048576} \approx 0.176\)
这种情况发生的可能性约为17.6%，属于不太可能但并非不可能的事件。
证明：
a) \({}^n C_1 = n\)
b) \({}^n C_2 = \frac{n(n-1)}{2}\)
使用组合公式：\({}^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
注意阶乘的性质和约分技巧。
a) 证明 \({}^n C_1 = n\)：
\({}^n C_1 = \frac{n!}{1!(n-1)!} = \frac{n \times (n-1)!}{1 \times (n-1)!} = n\)
b) 证明 \({}^n C_2 = \frac{n(n-1)}{2}\)：
\({}^n C_2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{2 \times (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}\)
已知 \(\binom{50}{13} = \frac{50!}{13!a!}\)，写出 \(a\) 的值。
使用组合公式：\(\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
比较给定的形式和标准形式。
\(\binom{50}{13} = \frac{50!}{13!(50-13)!} = \frac{50!}{13!37!}\)
与给定形式比较：\(\frac{50!}{13!a!}\)
因此 \(a = 37\)
已知 \(\binom{35}{p} = \frac{35!}{p!18!}\)，写出 \(p\) 的值。
使用组合公式和比较的方法。
注意 \(n-r\) 的值。
\(\binom{35}{p} = \frac{35!}{p!(35-p)!}\)
与给定形式比较：\(\frac{35!}{p!18!}\)
因此 \(35-p = 18\)，所以 \(p = 17\)
a) 计算 \({}^10 C_3\) 和 \({}^10 C_7\)
b) 计算 \({}^14 C_5\) 和 \({}^14 C_9\)
c) 你对a)和b)部分的答案有什么发现？
d) 证明 \({}^n C_r = {}^n C_{n-r}\)
注意组合的对称性。
使用组合公式进行证明。
a) \({}^10 C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = \frac{3628800}{30240} = 120\)
\({}^10 C_7 = \frac{10!}{7!3!} = \frac{3628800}{5040 \times 6} = \frac{3628800}{30240} = 120\)
b) \({}^14 C_5 = \frac{14!}{5!9!} = \frac{87178291200}{120 \times 362880} = \frac{87178291200}{43545600} = 2002\)
\({}^14 C_9 = \frac{14!}{9!5!} = \frac{87178291200}{362880 \times 120} = \frac{87178291200}{43545600} = 2002\)
c) 发现：\({}^n C_r = {}^n C_{n-r}\)（对称性）
d) 证明：\({}^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
\({}^n C_{n-r} = \frac{n!}{(n-r)!(n-(n-r))!} = \frac{n!}{(n-r)!r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} = {}^n C_r\)