练习题
对于每个数列：
i) 写出数列的前4项
ii) 写出 a 和 d 的值
a) \( u_n = 5n + 2 \)
b) \( u_n = 9 - 2n \)
c) \( u_n = 7 + 0.5n \)
d) \( u_n = n - 10 \)
a) i) 前4项：7, 12, 17, 22
ii) \( a = 7, d = 5 \)
b) i) 前4项：7, 5, 3, 1
ii) \( a = 7, d = -2 \)
c) i) 前4项：7.5, 8, 8.5, 9
ii) \( a = 7.5, d = 0.5 \)
d) i) 前4项：-9, -8, -7, -6
ii) \( a = -9, d = 1 \)
求下列等差数列的第 n 项和第10项：
a) 5, 7, 9, 11, ...
b) 5, 8, 11, 14, ...
c) 24, 21, 18, 15, ...
d) -1, 3, 7, 11, ...
e) x, 2x, 3x, 4x, ...
f) a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...
a) \( u_n = 3 + 2n \), \( u_{10} = 23 \)
b) \( u_n = 2 + 3n \), \( u_{10} = 32 \)
c) \( u_n = 27 - 3n \), \( u_{10} = -3 \)
d) \( u_n = -5 + 4n \), \( u_{10} = 35 \)
e) \( u_n = nx \), \( u_{10} = 10x \)
f) \( u_n = a + (n-1)d \), \( u_{10} = a + 9d \)
计算下列等差数列的项数：
a) 3, 7, 11, ..., 83, 87
b) 5, 8, 11, ..., 119, 122
c) 90, 88, 86, ..., 16, 14
d) 4, 9, 14, ..., 224, 229
e) x, 3x, 5x, ..., 35x
求第 n 项的表达式，然后设它等于数列的最后一项。解方程求出 n 的值。
a) 22项
b) 40项
c) 39项
d) 46项
e) 18项
等差数列的首项是14，第4项是32。求公差。
\( u_4 = a + 3d = 32 \)
\( 14 + 3d = 32 \)
\( 3d = 18 \)
\( d = 6 \)
数列由公式 \( u_n = pn + q \) 生成，其中 p 和 q 是待求常数。已知 \( u_6 = 9 \) 和 \( u_9 = 11 \)，求常数 p 和 q。
\( u_6 = 6p + q = 9 \) ... (1)
\( u_9 = 9p + q = 11 \) ... (2)
(2) - (1): \( 3p = 2 \)
\( p = \frac{2}{3} \)
代入(1): \( 4 + q = 9 \)
\( q = 5 \)
所以 \( p = \frac{2}{3}, q = 5 \)
对于等差数列，\( u_3 = 30 \) 且 \( u_9 = 9 \)。求数列中第一个负项。
\( u_3 = a + 2d = 30 \) ... (1)
\( u_9 = a + 8d = 9 \) ... (2)
(2) - (1): \( 6d = -21 \)
\( d = -3.5 \)
代入(1): \( a - 7 = 30 \)
\( a = 37 \)
通项公式：\( u_n = 37 - 3.5(n-1) \)
设 \( u_n < 0 \)：\( 37 - 3.5(n-1) < 0 \)
\( 37 < 3.5(n-1) \)
\( n-1 > \frac{37}{3.5} = \frac{74}{7} \)
\( n > \frac{81}{7} \approx 11.57 \)
所以 \( n = 12 \)，第12项是第一个负项
等差数列的第20项是14，第40项是-6。求第10项的值。
\( u_{20} = a + 19d = 14 \) ... (1)
\( u_{40} = a + 39d = -6 \) ... (2)
(2) - (1): \( 20d = -20 \)
\( d = -1 \)
代入(1): \( a - 19 = 14 \)
\( a = 33 \)
\( u_{10} = 33 + 9(-1) = 24 \)
等差数列的前三项是 5p, 20, 3p，其中 p 是常数。求数列的第20项。
\( a = 5p, u_2 = 20, u_3 = 3p \)
\( d = u_2 - u_1 = 20 - 5p \)
\( d = u_3 - u_2 = 3p - 20 \)
所以：\( 20 - 5p = 3p - 20 \)
\( 40 = 8p \)
\( p = 5 \)
\( a = 25, d = -5 \)
\( u_{20} = 25 + 19(-5) = 25 - 95 = -70 \)
等差数列的前三项是 -8, k², 17k, ...
求 k 的两个可能值。
\( a = -8, u_2 = k^2, u_3 = 17k \)
\( d = k^2 - (-8) = k^2 + 8 \)
\( d = 17k - k^2 \)
所以：\( k^2 + 8 = 17k - k^2 \)
\( 2k^2 - 17k + 8 = 0 \)
\( (2k - 1)(k - 8) = 0 \)
\( k = \frac{1}{2} \) 或 \( k = 8 \)
等差数列的首项是 k²，公差是 k，其中 k > 0。数列的第5项是41。求 k 的值，答案用 \( p + q\sqrt{5} \) 的形式给出，其中 p 和 q 是整数。
\( a = k^2, d = k \)
\( u_5 = k^2 + 4k = 41 \)
\( k^2 + 4k - 41 = 0 \)
使用二次公式：
\( k = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 164}}{2} \)
\( k = \frac{-4 \pm \sqrt{180}}{2} \)
\( k = \frac{-4 \pm 6\sqrt{5}}{2} \)
\( k = -2 \pm 3\sqrt{5} \)
因为 k > 0，所以 \( k = -2 + 3\sqrt{5} \)