5.5 Sum to Infinity - 知识点总结

基本概念

无穷级数定义

无穷级数是当 n 趋向于无穷大时，几何级数前 n 项的和的极限值。

无穷级数求和公式：\( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} \)

其中：a 是首项，r 是公比，且 |r| < 1

重要符号

\( S_{\infty} \)：无穷级数的和
\( a \)：首项（第一项）
\( r \)：公比（相邻两项的比值）
\( |r| \)：公比的绝对值

收敛条件

几何级数收敛条件

几何级数收敛当且仅当 \( |r| < 1 \)

你也可以将这个条件写成 \( -1 < r < 1 \)

当 \( |r| < 1 \) 时，\( r^n \rightarrow 0 \) 当 \( n \rightarrow \infty \)

判断级数收敛性的方法

计算公比 r 的值
计算公比的绝对值 |r|
如果 |r| < 1，级数收敛
如果 |r| ≥ 1，级数发散

解题方法

求无穷级数的和

判断级数是否收敛（检查 |r| < 1）
确定首项 a 和公比 r
代入公式 \( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} \)
计算得到无穷和的值

根据有限项和与无穷和求参数

根据有限项和建立方程：\( S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \)
根据无穷和建立方程：\( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} \)
联立求解方程组
验证答案的合理性

将循环小数表示为分数

将循环小数表示为几何级数
确定首项 a 和公比 r
检查收敛性（|r| < 1）
使用无穷级数求和公式

常见题型

题型1：判断级数收敛性

给定几何级数，判断其是否收敛。

解题步骤：计算公比 r，检查 |r| < 1 是否成立。

题型2：求无穷级数的和

给定收敛的几何级数，求其无穷和。

解题步骤：使用公式 \( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} \)。

题型3：求级数参数

给定有限项和与无穷和，求首项或公比。

解题步骤：建立方程组联立求解。

题型4：循环小数转分数

将循环小数表示为分数形式。

解题步骤：表示为几何级数，求无穷和。

题型5：收敛性证明

证明给定级数的收敛性。

解题步骤：计算公比，证明 |r| < 1。

注意事项

计算注意事项

只有收敛级数才能使用无穷级数求和公式
使用公式前必须先判断收敛性
注意公比的正负号对收敛性的影响
建立方程组时，要确保方程个数等于未知数个数
对于循环小数，要正确识别循环节

常见错误

对发散级数使用无穷级数求和公式
忘记检查收敛条件
计算公比时符号错误
建立方程组时方程不够或多余
循环小数的循环节识别错误

记忆口诀

无穷级数记忆口诀

无穷级数有极限，公比绝对值要小于一

收敛条件要记牢，|r| < 1 才收敛

求和公式很简单，首项除以一减公比

循环小数转分数，几何级数来帮忙

发散级数无极限，收敛级数有定值