三角恒等式
单位圆的方程是 \( x^2 + y^2 = 1 \)。
由于 \( \cos \theta = x \) 和 \( \sin \theta = y \)，因此有 \( \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \)。
这些结果称为三角恒等式。使用符号 \( \equiv \) 而不是 \( = \) 来表示它们对于所有满足条件的 \( \theta \) 值都成立。
These results are called trigonometric identities. You use the \( \equiv \) symbol instead of \( = \) to show that they are always true for all values of \( \theta \) (subject to any conditions given).
对于所有 \( \theta \) 值：
\( \sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1 \)
重要提示
这个恒等式是三角函数理论的基础，它来源于单位圆上点的坐标关系。
由于 \( \tan \theta = \frac{y}{x} \)，因此有 \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)。
对于所有满足 \( \cos \theta \neq 0 \) 的 \( \theta \) 值：
\( \tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)
注意事项
当分母 \( = 0 \) 时，\( \tan \theta \) 未定义。这发生在 \( \cos \theta = 0 \) 时，即当 \( \theta = \ldots -90°, 90°, 270°, 450°, \ldots \) 时。
你可以使用这两个恒等式来简化三角表达式和完成证明。
简化以下表达式：
a) \( \sin^2 3\theta + \cos^2 3\theta \)
b) \( 5 - 5\sin^2\theta \)
c) \( \frac{\sin 2\theta}{\sqrt{1 - \sin^2 2\theta}} \)
解答：
a) \( \sin^2 3\theta + \cos^2 3\theta = 1 \)
（使用 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)，将 \( \theta \) 替换为 \( 3\theta \)）
b) \( 5 - 5\sin^2\theta = 5(1 - \sin^2\theta) = 5\cos^2\theta \)
（总是寻找公因子。由于 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)，所以 \( 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta \)）
c) \( \frac{\sin 2\theta}{\sqrt{1 - \sin^2 2\theta}} = \frac{\sin 2\theta}{\sqrt{\cos^2 2\theta}} = \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} = \tan 2\theta \)
（由于 \( \sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta = 1 \)，所以 \( 1 - \sin^2 2\theta = \cos^2 2\theta \)）
证明：\( \frac{\cos^4\theta - \sin^4\theta}{\cos^2\theta} \equiv 1 - \tan^2\theta \)
证明：
左边 \( \equiv \frac{\cos^4\theta - \sin^4\theta}{\cos^2\theta} \)
\( \equiv \frac{(\cos^2\theta + \sin^2\theta)(\cos^2\theta - \sin^2\theta)}{\cos^2\theta} \)
（分子可以因式分解为"平方差"）
\( \equiv \frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\cos^2\theta} \)
（因为 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1 \)）
\( \equiv \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} - \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \)
\( \equiv 1 - \tan^2\theta = \) 右边
（因为 \( \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \equiv \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)^2 \equiv \tan^2\theta \)）
证明技巧
要证明恒等式，从左边开始，操作表达式直到它与右边匹配。
a) 已知 \( \cos \theta = -\frac{3}{5} \) 且 \( \theta \) 是优角，求 \( \sin \theta \) 的值。
b) 已知 \( \sin \alpha = \frac{2}{5} \) 且 \( \alpha \) 是钝角，求 \( \cos \alpha \) 的精确值。
解答：
a) 使用恒等式 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)：
\( \sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \)
由于 \( \theta \) 是优角，\( \sin \theta \) 为负值，所以 \( \sin \theta = -\frac{4}{5} \)
b) 使用恒等式 \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \)：
\( \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} \)
由于 \( \alpha \) 是钝角，\( \cos \alpha \) 为负值，所以 \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{21}}{5} \)
已知 \( p = 3\cos \theta \) 和 \( q = 2\sin \theta \)，证明 \( 4p^2 + 9q^2 = 36 \)。
解答：
由于 \( p = 3\cos \theta \) 和 \( q = 2\sin \theta \)，
所以 \( \cos \theta = \frac{p}{3} \) 和 \( \sin \theta = \frac{q}{2} \)
使用恒等式 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1 \)：
\( \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^2 = 1 \)
\( \frac{q^2}{4} + \frac{p^2}{9} = 1 \)
两边乘以36：
\( 4p^2 + 9q^2 = 36 \)