Chapter Review 6 - 知识点总结

6.1 四个象限中的角 (Angles in All Four Quadrants)

单位圆定义

对于单位圆上的一点 \(P(x, y)\)，其中 \(OP\) 与正 \(x\) 轴成角 \(\theta\)：

\(\cos \theta = x\)（\(P\) 的 \(x\) 坐标）
\(\sin \theta = y\)（\(P\) 的 \(y\) 坐标）
\(\tan \theta = \frac{y}{x}\)（\(OP\) 的斜率）

象限符号规律

象限	角度范围	sin θ	cos θ	tan θ
第一象限	0° < θ < 90°	+	+	+
第二象限	90° < θ < 180°	+	-	-
第三象限	180° < θ < 270°	-	-	+
第四象限	270° < θ < 360°	-	+	-

角度关系公式

\(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta\)

\(\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta\)

\(\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta\)

6.2 三角比的精确值 (Exact Values of Trigonometrical Ratios)

特殊角的精确值

角度	弧度	sin	cos	tan
30°	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
45°	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)	1
60°	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\sqrt{3}\)

6.3 三角恒等式 (Trigonometric Identities)

基本三角恒等式

毕达哥拉斯恒等式

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1\)

正切恒等式

\(\tan\theta \equiv \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)（当 \(\cos\theta \neq 0\) 时）

恒等式的应用

简化三角表达式
证明其他恒等式
求解三角方程
转换三角函数形式

6.4 解简单三角方程 (Solve Simple Trigonometric Equations)

基本三角方程

\(\sin\theta = k\)（\(-1 \leq k \leq 1\)）
\(\cos\theta = k\)（\(-1 \leq k \leq 1\)）
\(\tan\theta = p\)（\(p \in \mathbb{R}\)）

主值范围

\(\sin^{-1}\)：\(-90° \leq \theta \leq 90°\) 或 \(-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)
\(\cos^{-1}\)：\(0° \leq \theta \leq 180°\) 或 \(0 \leq \theta \leq \pi\)
\(\tan^{-1}\)：\(-90° \leq \theta \leq 90°\) 或 \(-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\)

6.5 更复杂的三角方程 (Harder Trigonometric Equations)

复合角方程

形如 \(\sin n\theta = k\)、\(\cos n\theta = k\)、\(\tan n\theta = p\) 的方程

设 \(X = n\theta\) 进行变量替换
调整解区间：如果 \(0 \leq \theta \leq 2\pi\)，则 \(0 \leq X \leq 2n\pi\)
求解后转换回原变量

相位移动方程

形如 \(\sin(\theta + \alpha) = k\)、\(\cos(\theta + \alpha) = k\)、\(\tan(\theta + \alpha) = p\) 的方程

设 \(X = \theta + \alpha\) 进行变量替换
调整解区间：如果 \(0 \leq \theta \leq 2\pi\)，则 \(\alpha \leq X \leq 2\pi + \alpha\)
求解后减去 \(\alpha\) 得到原变量的解

6.6 方程与恒等式 (Equations and Identities)

二次三角方程

形如 \(a\sin^2\theta + b\sin\theta + c = 0\) 的方程

设 \(X = \sin\theta\)，转化为二次方程 \(aX^2 + bX + c = 0\)
求解二次方程得到 \(X\) 的值
求解 \(\sin\theta = X\) 得到 \(\theta\) 的值

恒等式的证明

从等式一边开始，通过恒等变换得到另一边
使用基本恒等式：\(\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1\) 和 \(\tan\theta \equiv \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
注意使用恒等号 \(\equiv\) 表示对所有值都成立

重要公式总结

基本恒等式

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1\)

\(\tan\theta \equiv \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

角度关系

\(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta\)

\(\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta\)

\(\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta\)

精确值

\(\sin 30° = \frac{1}{2}, \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\sin 45° = \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}, \tan 45° = 1\)

\(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60° = \frac{1}{2}, \tan 60° = \sqrt{3}\)