方差与标准差 - 衡量数据分散程度的重要指标
定义：衡量数据分散程度的指标，反映数据与均值的偏离程度。
对于分组数据（含频率表），公式拓展为：
其中 \(f\) 为频率，\(x\) 为数据值或组中值
定义：方差的平方根，单位与原始数据一致。
特点：标准差比方差更直观，因为它与原始数据具有相同的单位。
关键关系：方差和标准差都是衡量数据分散程度的重要指标，数值越大表示数据越分散，数值越小表示数据越集中。
题目：7名学生的测试分数：3, 4, 6, 2, 8, 8, 5，求方差和标准差。
步骤1：计算基本统计量
• 求和：\(\sum x = 3+4+6+2+8+8+5 = 36\)
• 平方和：\(\sum x^2 = 3^2+4^2+6^2+2^2+8^2+8^2+5^2 = 218\)
• 数据个数：\(n = 7\)
步骤2：计算方差
\(\sigma^2 = \frac{218}{7} - \left( \frac{36}{7} \right)^2 = 31.14 - 26.45 \approx 4.69\)
步骤3：计算标准差
\(\sigma = \sqrt{4.69} \approx 2.17\)
题目：学生午餐外出时长的频率表如下，求标准差。
| 时长\( x \)（分钟） | 35 | 36 | 37 | 38 |
|---|---|---|---|---|
| 频率\( f \) | 3 | 17 | 29 | 34 |
步骤1：计算加权和
\(\sum fx = 3×35 + 17×36 + 29×37 + 34×38 = 105 + 612 + 1073 + 1292 = 3082\)
步骤2：计算加权平方和
\(\sum fx^2 = 3×35^2 + 17×36^2 + 29×37^2 + 34×38^2 = 3675 + 22032 + 39721 + 49076 = 114504\)
步骤3：计算总频率
\(\sum f = 3+17+29+34 = 83\)
步骤4：计算方差
\(\sigma^2 = \frac{114504}{83} - \left( \frac{3082}{83} \right)^2 = 1379.57 - 1378.83 \approx 0.741\)
步骤5：计算标准差
\(\sigma = \sqrt{0.741} \approx 0.861\)（3位有效数字）
题目：Akira的通话时长分组表如下，求标准差的估计值。
| 通话时长\( l \)（分钟） | \( 0 < l \leq 5 \) | \( 5 < l \leq 10 \) | \( 10 < l \leq 15 \) | \( 15 < l \leq 20 \) | \( 20 < l \leq 60 \) | \( 60 < l \leq 70 \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 频率\( f \) | 4 | 15 | 5 | 2 | 0 | 1 |
步骤1：计算组中值和统计量
| 时长区间 | 组中值\( x \) | 频率\( f \) | \( fx \) | \( fx^2 \) |
|---|---|---|---|---|
| \( 0 < l \leq 5 \) | 2.5 | 4 | 10 | 25 |
| \( 5 < l \leq 10 \) | 7.5 | 15 | 112.5 | 843.75 |
| \( 10 < l \leq 15 \) | 12.5 | 5 | 62.5 | 781.25 |
| \( 15 < l \leq 20 \) | 17.5 | 2 | 35 | 612.5 |
| \( 20 < l \leq 60 \) | 40 | 0 | 0 | 0 |
| \( 60 < l \leq 70 \) | 65 | 1 | 65 | 4225 |
| 总计 | - | 27 | 285 | 6487.5 |
步骤2：计算方差
\(\sigma^2 = \frac{6487.5}{27} - \left( \frac{285}{27} \right)^2 = 240.28 - 111.42 \approx 128.86\)
步骤3：计算标准差
\(\sigma = \sqrt{128.86} \approx 11.4\)（3位有效数字）
题目：变量\( x \)的汇总数据：\(\sum x = 24\)，\(\sum x^2 = 78\)，\( n = 8 \)
求：a 均值；b 方差\(\sigma^2\)；c 标准差\(\sigma\)
a 均值：\(\bar{x} = \frac{24}{8} = 3\)
b 方差：\(\sigma^2 = \frac{78}{8} - 3^2 = 9.75 - 9 = 0.75\)
c 标准差：\(\sigma = \sqrt{0.75} \approx 0.866\)
题目：8名学生的身高（cm）：165, 170, 190, 180, 175, 185, 176, 184
a 求均值；b 已知\(\sum h^2 = 254307\)，求方差；c 求标准差
a 均值：\(\bar{h} = \frac{165+170+190+180+175+185+176+184}{8} = \frac{1425}{8} = 178.125\) cm
b 方差：\(\sigma^2 = \frac{254307}{8} - (178.125)^2 = 31788.375 - 31728.515625 = 58.3125\)
c 标准差：\(\sigma = \sqrt{58.3125} \approx 7.64\) cm
核心要点：方差与标准差是衡量数据分散程度的重要指标：
掌握方差与标准差是描述性统计的重要工具，它为后续的统计推断、假设检验和数据分析提供了基础。通过练习可以培养数据分析和统计思维。