使用离散均匀分布作为模型
本节练习题旨在帮助您掌握离散均匀分布的建模方法和计算技巧。建议先尝试自行解答，然后点击"显示答案"按钮查看参考答案。每个练习题都有详细的解答步骤。
These exercises are designed to help you master the modeling methods and calculation techniques for discrete uniform distributions. It is recommended to try solving them yourself first, then click the "Show Answer" button to view the reference answers. Each exercise includes detailed solution steps.
练习要点 / Exercise Key Points：
\(X\) 在数字1,2,3,4,5上服从离散均匀分布。求 \(\mathrm{E}(X)\) 和 \(\operatorname{Var}(X)\)。
解答：
n = 5，所以 \(\mathrm{E}(X) = \frac{5 + 1}{2} = 3\)
\(\operatorname{Var}(X) = \frac{(5 + 1)(5 - 1)}{12} = \frac{30}{12} = 2.5\)
七个相似的球放在袋子里。球上写着数字1到7。从袋子中随机抽出一个球。变量 \(X\) 表示球上的数字。
a) 求 \(\mathrm{E}(X)\)。
b) 求 \(\operatorname{Var}(X)\)。
解答：
a) 这是一个在{1,2,3,4,5,6,7}上的离散均匀分布，n=7。
\(\mathrm{E}(X) = \frac{7 + 1}{2} = 4\)
b) \(\operatorname{Var}(X) = \frac{(7 + 1)(7 - 1)}{12} = \frac{56}{12} = \frac{14}{3} \approx 4.667\)
公平骰子投掷一次，随机变量 \(X\) 表示最上面的面的数值。
a) 求 \(\mathrm{E}(X)\) 和 \(\operatorname{Var}(X)\)。
b) 计算 \(X\) 在均值一个标准差范围内的概率。
解答：
a) n=6，\(\mathrm{E}(X) = \frac{6 + 1}{2} = 3.5\)
\(\operatorname{Var}(X) = \frac{(6 + 1)(6 - 1)}{12} = \frac{35}{12} \approx 2.917\)
\(\sigma = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1.708\)
b) \(P(3.5 - 1.708 < X < 3.5 + 1.708) = P(1.792 < X < 5.208)\)
由于X只取整数值，\(P(2 \leq X \leq 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 4 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\)
从一副包含偶数2,4,6,...,20的卡牌中随机选择一张。变量 \(X\) 表示卡牌上的数字。
a) 求 \(P(X > 15)\)。
b) 求 \(\mathrm{E}(X)\) 和 \(\operatorname{Var}(X)\)。
解答：
a) 卡牌上的数字：2,4,6,8,10,12,14,16,18,20（10张牌）。
\(P(X > 15) = P(X=16) + P(X=18) + P(X=20) = \frac{3}{10}\)
b) 这是一个在{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}上的离散均匀分布。
可以通过线性变换 \(Y = \frac{X}{2}\) 转换为{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}。
对于Y，n=10，\(\mathrm{E}(Y) = \frac{10 + 1}{2} = 5.5\)
\(\operatorname{Var}(Y) = \frac{(10 + 1)(10 - 1)}{12} = \frac{99}{12} = 8.25\)
由于 \(X = 2Y\)，\(\mathrm{E}(X) = 2 \times 5.5 = 11\)
\(\operatorname{Var}(X) = 4 \times 8.25 = 33\)
在一张纸上画一条直线。将直线分成四个相等的部分，并标记1,2,3,4。在一个聚会游戏中，一个人被蒙住眼睛，被要求在直线上标记一个点，然后记录区段的编号。建议使用集合{1,2,3,4}上的离散均匀分布作为这个分布的模型。评论这个建议。
解答：
这个建议是不合适的。因为被蒙住眼睛的人在直线上标记点的过程不是等可能的。即使区段长度相等，由于人眼的偏差和手的抖动，不同位置被选中的概率并不相等。实际分布更可能是连续均匀分布，而不是离散均匀分布。
如图所示的转盘用于游乐场游戏。每玩一次收费5美分。转盘转动，玩家赢得显示的美分数。如果 \(X\) 是下次转动时出现的数字，
a) 为 \(X\) 命名合适的模型。
b) 求 \(\mathrm{E}(X)\)。
c) 求 \(\operatorname{Var}(X)\)。
d) 解释为什么玩家在大次数转动后不应该期望赚钱。
解答：
a) 这是一个在{1,2,3,4,5,6,7,8}上的离散均匀分布。
b) n=8，\(\mathrm{E}(X) = \frac{8 + 1}{2} = 4.5\)
c) \(\operatorname{Var}(X) = \frac{(8 + 1)(8 - 1)}{12} = \frac{81}{12} = 6.75\)
d) 玩家支付5美分，但期望赢得4.5美分。所以期望净收益为4.5 - 5 = -0.5美分。长期来看，玩家会亏损。
通过练习您应该掌握：
熟练掌握这些内容将为您后续学习其他概率分布和统计应用打下坚实的基础。如果在练习过程中遇到困难，建议回顾教材内容中的概念解释和实例演示。
Mastering these concepts will lay a solid foundation for your subsequent study of other probability distributions and statistical applications. If you encounter difficulties during practice, it is recommended to review the concept explanations and example demonstrations in the textbook content.