例题解析
已知随机变量X服从正态分布，参数为X ~ N(100, 25)。求：
a) P(X ≤ 105)
b) P(X > 95)
c) P(90 < X < 110)
首先，确定原始分布的参数：
均值 μ = 100
方差 σ² = 25，因此标准差 σ = 5
问题 a) 计算 P(X ≤ 105)
步骤1：使用标准化公式将X转换为标准正态变量Z
Z = (X - μ) / σ = (105 - 100) / 5 = 1
步骤2：将概率转换为标准正态分布的概率
P(X ≤ 105) = P(Z ≤ 1)
步骤3：查标准正态分布表或使用计算器得到
P(Z ≤ 1) = 0.8413
问题 b) 计算 P(X > 95)
步骤1：使用标准化公式
Z = (95 - 100) / 5 = -1
步骤2：转换概率
P(X > 95) = P(Z > -1)
步骤3：利用对称性计算
P(Z > -1) = 1 - P(Z ≤ -1) = 1 - 0.1587 = 0.8413
问题 c) 计算 P(90 < X < 110)
步骤1：标准化两个边界值
Z₁ = (90 - 100) / 5 = -2
Z₂ = (110 - 100) / 5 = 2
步骤2：转换概率
P(90 < X < 110) = P(-2 < Z < 2)
步骤3：计算区间概率
P(-2 < Z < 2) = P(Z ≤ 2) - P(Z ≤ -2) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544
a) P(X ≤ 105) = 0.8413
b) P(X > 95) = 0.8413
c) P(90 < X < 110) = 0.9544
已知随机变量X服从正态分布，参数为X ~ N(50, 9)。求：
a) 找到值a，使得P(X ≤ a) = 0.90
b) 找到值b，使得P(X > b) = 0.05
c) 找到值c和d，使得P(c < X < d) = 0.95，且c和d关于均值对称
首先，确定原始分布的参数：
均值 μ = 50
方差 σ² = 9，因此标准差 σ = 3
问题 a) 找到值a，使得P(X ≤ a) = 0.90
步骤1：使用逆正态函数找到对应的Z值
查标准正态分布表或使用计算器，找到z使得P(Z ≤ z) = 0.90
得到 z = 1.2816
步骤2：使用标准化的逆过程求解a
a = μ + z × σ = 50 + 1.2816 × 3 = 50 + 3.8448 = 53.8448
问题 b) 找到值b，使得P(X > b) = 0.05
步骤1：转换概率形式
P(X > b) = 0.05 等价于 P(X ≤ b) = 0.95
步骤2：找到对应的Z值
查标准正态分布表或使用计算器，找到z使得P(Z ≤ z) = 0.95
得到 z = 1.6449
步骤3：求解b
b = μ + z × σ = 50 + 1.6449 × 3 = 50 + 4.9347 = 54.9347
问题 c) 找到值c和d，使得P(c < X < d) = 0.95，且c和d关于均值对称
步骤1：确定对称区间的Z值
由于区间关于均值对称，且总概率为0.95，因此两侧的概率各为(1 - 0.95)/2 = 0.025
查标准正态分布表或使用计算器，找到z使得P(Z ≤ -z) = 0.025
得到 z = 1.96
步骤2：求解c和d
c = μ - z × σ = 50 - 1.96 × 3 = 50 - 5.88 = 44.12
d = μ + z × σ = 50 + 1.96 × 3 = 50 + 5.88 = 55.88
a) a = 53.84（保留两位小数）
b) b = 54.93（保留两位小数）
c) c = 44.12，d = 55.88（保留两位小数）
解题技巧：
1. 对于逆正态问题，先找到对应的Z值，再使用公式X = μ + Zσ转换回原始变量
2. 对称区间问题中，利用标准正态分布的对称性可以简化计算
3. 常用的Z值需要记住：P(Z ≤ 1.6449) = 0.95，P(Z ≤ 1.96) = 0.975，P(Z ≤ 2.326) = 0.99
某工厂生产的螺栓长度服从正态分布，均值为50mm，标准差为0.5mm。规定长度在49mm到51mm之间的螺栓为合格品。
a) 计算随机抽取一个螺栓为合格品的概率
b) 如果每天生产1000个螺栓，预计有多少个不合格品？
c) 为了提高合格率，工厂计划调整生产工艺，使标准差减小。要使合格率达到99%，标准差应该减小到多少？
问题 a) 计算合格品概率
步骤1：确定分布参数
均值 μ = 50mm，标准差 σ = 0.5mm
步骤2：标准化边界值
Z₁ = (49 - 50) / 0.5 = -2
Z₂ = (51 - 50) / 0.5 = 2
步骤3：计算概率
P(49 < X < 51) = P(-2 < Z < 2) = P(Z ≤ 2) - P(Z ≤ -2) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544
问题 b) 计算不合格品数量
步骤1：计算不合格品概率
不合格品概率 = 1 - 合格品概率 = 1 - 0.9544 = 0.0456
步骤2：计算预计不合格品数量
预计不合格品数量 = 生产总数 × 不合格品概率 = 1000 × 0.0456 = 45.6 ≈ 46个
问题 c) 求解所需的标准差
步骤1：确定目标概率对应的Z值
要使P(49 < X < 51) = 0.99，即P(-z < Z < z) = 0.99，对应的z值为2.5758
步骤2：建立方程求解σ
由于(51 - 50)/σ = 2.5758，解得：
σ = (51 - 50) / 2.5758 = 1 / 2.5758 ≈ 0.388mm
a) 合格品概率 = 0.9544（或95.44%）
b) 预计不合格品数量 ≈ 46个
c) 需要将标准差减小到约0.388mm