第一章综合练习与巩固
化简以下分式：
a) \(\frac{3x^4 - 21x}{3x}\)
b) \(\frac{x^2 - 2x - 24}{x^2 - 7x + 6}\)
c) \(\frac{2x^2 + 7x - 4}{2x^2 + 9x + 4}\)
对于a)，直接约分；对于b)和c)，先对分子分母进行因式分解，然后约去公因式。
a) \(\frac{3x^4 - 21x}{3x} = \frac{3x(x^3 - 7)}{3x} = x^3 - 7\)
b) \(\frac{x^2 - 2x - 24}{x^2 - 7x + 6} = \frac{(x - 6)(x + 4)}{(x - 6)(x - 1)} = \frac{x + 4}{x - 1}\)
c) \(\frac{2x^2 + 7x - 4}{2x^2 + 9x + 4} = \frac{(2x - 1)(x + 4)}{(2x + 1)(x + 4)} = \frac{2x - 1}{2x + 1}\)
a) 用长除法计算 \((3x^3 + 12x^2 + 5x + 20) \div (x + 4)\)
b) 化简 \(\frac{2x^3 + 3x + 5}{x + 1}\)
对于a)，使用长除法；对于b)，先用长除法，然后化简结果。
a) 长除法过程：
\(3x^3 + 12x^2 + 5x + 20 = (x + 4)(3x^2 + 5)\)
b) \(\frac{2x^3 + 3x + 5}{x + 1} = 2x^2 - 2x + 5 + \frac{0}{x + 1} = 2x^2 - 2x + 5\)
a) 证明 \((x - 3)\) 是 \(2x^3 - 2x^2 - 17x + 15\) 的因式。（2分）
b) 将 \(2x^3 - 2x^2 - 17x + 15\) 表示为 \((x - 3)(Ax^2 + Bx + C)\) 的形式，其中 \(A, B, C\) 是待求的常数。（3分）
对于a)，使用因式定理；对于b)，使用长除法或因式定理。
a) 设 \(f(x) = 2x^3 - 2x^2 - 17x + 15\)
\(f(3) = 2(27) - 2(9) - 17(3) + 15 = 54 - 18 - 51 + 15 = 0\)
根据因式定理，\((x - 3)\) 是 \(f(x)\) 的因式。
b) 使用长除法：\(2x^3 - 2x^2 - 17x + 15 = (x - 3)(2x^2 + 4x - 5)\)
所以 \(A = 2, B = 4, C = -5\)
a) 求 \(16x^5 - 20x^4 + 8\) 除以 \((2x - 1)\) 的余数。（2分）
b) 证明 \((x - 2)\) 是 \(x^3 + 4x^2 - 3x - 18\) 的因式。（2分）
c) 将 \(x^3 + 4x^2 - 3x - 18\) 表示为 \((x - 2)(px + q)^2\) 的形式，其中 \(p, q\) 是待求的常数。（4分）
对于a)，使用余数定理；对于b)，使用因式定理；对于c)，先进行因式分解。
a) 设 \(f(x) = 16x^5 - 20x^4 + 8\)
余数 = \(f(\frac{1}{2}) = 16(\frac{1}{32}) - 20(\frac{1}{16}) + 8 = \frac{1}{2} - \frac{5}{4} + 8 = \frac{27}{4}\)
b) 设 \(g(x) = x^3 + 4x^2 - 3x - 18\)
\(g(2) = 8 + 16 - 6 - 18 = 0\)，所以 \((x - 2)\) 是 \(g(x)\) 的因式。
c) \(x^3 + 4x^2 - 3x - 18 = (x - 2)(x^2 + 6x + 9) = (x - 2)(x + 3)^2\)
所以 \(p = 1, q = 3\)
a) 完全因式分解 \(2x^3 + 3x^2 - 18x + 8\)。（6分）
b) 如果 \((x - 2)\) 是 \(x^3 - 3x^2 + kx - 10\) 的因式，求 \(k\) 的值。（4分）
对于a)，先尝试用因式定理找到因式；对于b)，使用因式定理。
a) 设 \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 18x + 8\)
尝试 \(f(1) = 2 + 3 - 18 + 8 = -5 \neq 0\)
尝试 \(f(2) = 16 + 12 - 36 + 8 = 0\)，所以 \((x - 2)\) 是因式
长除法：\(2x^3 + 3x^2 - 18x + 8 = (x - 2)(2x^2 + 7x - 4)\)
继续分解：\(2x^2 + 7x - 4 = (2x - 1)(x + 4)\)
所以 \(f(x) = (x - 2)(2x - 1)(x + 4)\)
b) 设 \(g(x) = x^3 - 3x^2 + kx - 10\)
\(g(2) = 8 - 12 + 2k - 10 = 2k - 14 = 0\)
所以 \(k = 7\)
设 \(f(x) = 2x^2 + px + q\)，已知 \(f(-3) = 0\) 且 \(f(4) = 21\)：
a) 求 \(p\) 和 \(q\) 的值。（6分）
b) 因式分解 \(f(x)\)。（3分）
根据已知条件建立方程组，解出 \(p\) 和 \(q\)。
a) 根据条件：
\(f(-3) = 2(9) + p(-3) + q = 18 - 3p + q = 0\)
\(f(4) = 2(16) + p(4) + q = 32 + 4p + q = 21\)
解得：\(p = -5, q = -3\)
b) \(f(x) = 2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)\)
a) 证明 \(\frac{x - y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \equiv \sqrt{x} + \sqrt{y}\)
b) 用配方法证明 \(n^2 - 8n + 20\) 对所有 \(n\) 的值都是正数。
c) 证明四边形 \(A(1,1), B(3,2), C(4,0), D(2,-1)\) 是正方形。
对于a)，有理化分母；对于b)，使用配方法；对于c)，证明四边相等且相邻边垂直。
a) \(\frac{x - y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}\)
b) \(n^2 - 8n + 20 = (n - 4)^2 + 4 \geq 4 > 0\)
c) 计算各边长：
\(AB = \sqrt{(3-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{5}\)
\(BC = \sqrt{(4-3)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{5}\)
\(CD = \sqrt{(2-4)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{5}\)
\(DA = \sqrt{(1-2)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{5}\)
四边相等，且相邻边垂直，所以是正方形。
a) 证明陈述"\(n^2 - n + 3\) 对所有 \(n\) 的值都是质数"不成立。
b) 一个学生试图证明 \(1 + x^2 < (1 + x)^2\)，学生写道：
\((1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2\)
所以 \(1 + x^2 < 1 + 2x + x^2\)
i) 识别证明中的错误。（1分）
ii) 提供反例证明陈述不成立。（2分）
对于a)，找到具体的反例；对于b)，分析学生的逻辑错误。
a) 反例：当 \(n = 3\) 时，\(n^2 - n + 3 = 9 - 3 + 3 = 9\)
9不是质数，所以原陈述不成立。
b) i) 错误：学生从要证明的结论开始证明
ii) 反例：当 \(x = 0\) 时，\(1 + x^2 = 1 + 0 = 1\)，\((1 + x)^2 = 1^2 = 1\)
\(1 = 1\)，不满足 \(1 + x^2 < (1 + x)^2\)
设 \(f(x) = 6x^3 + 17x^2 - 5x - 6\)：
a) 证明 \(f(x) = (3x - 2)(ax^2 + bx + c)\)，其中 \(a, b, c\) 是待求的常数。（2分）
b) 完全因式分解 \(f(x)\)。（4分）
c) 写出方程 \(f(x) = 0\) 的所有实根。（2分）
使用因式定理找到因式，然后进行长除法。
a) 设 \(f(x) = 6x^3 + 17x^2 - 5x - 6\)
\(f(\frac{2}{3}) = 6(\frac{8}{27}) + 17(\frac{4}{9}) - 5(\frac{2}{3}) - 6 = 0\)
所以 \((3x - 2)\) 是 \(f(x)\) 的因式
b) 长除法：\(6x^3 + 17x^2 - 5x - 6 = (3x - 2)(2x^2 + 7x + 3)\)
继续分解：\(2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)\)
所以 \(f(x) = (3x - 2)(2x + 1)(x + 3)\)
c) 实根：\(x = \frac{2}{3}, x = -\frac{1}{2}, x = -3\)
a) 证明方程 \(x^2 - kx + k = 0\)（其中 \(k\) 是正常数）有两个相等根时，\(k = 4\)。（3分）
b) 证明两个连续偶数的平方差总是能被4整除。
c) 这个陈述对奇数也成立吗？给出理由。
对于a)，使用判别式；对于b)，设两个连续偶数为 \(2n\) 和 \(2n+2\)。
a) 判别式 \(\Delta = k^2 - 4k = 0\)
\(k(k - 4) = 0\)
由于 \(k > 0\)，所以 \(k = 4\)
b) 设两个连续偶数为 \(2n\) 和 \(2n+2\)
\((2n+2)^2 - (2n)^2 = 4n^2 + 8n + 4 - 4n^2 = 8n + 4 = 4(2n + 1)\)
所以平方差能被4整除
c) 对于奇数：设两个连续奇数为 \(2n+1\) 和 \(2n+3\)
\((2n+3)^2 - (2n+1)^2 = 4n^2 + 12n + 9 - 4n^2 - 4n - 1 = 8n + 8 = 8(n + 1)\)
所以奇数的平方差能被8整除，当然也能被4整除。