代数方法综合复习
代数分式是形如 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的表达式，其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 都是多项式，且 \(Q(x) \neq 0\)。
化简代数分式的基本步骤：
例题：化简 \(\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 3x - 10}\)
解答：
\(\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 3x - 10} = \frac{(x + 5)(x + 1)}{(x + 5)(x - 2)} = \frac{x + 1}{x - 2}\)
多项式长除法的基本步骤：
例题：用长除法计算 \((x^3 + 2x^2 - 17x + 6) \div (x - 3)\)
解答：
商式为 \(x^2 + 5x - 2\)，余式为 0
所以 \(x^3 + 2x^2 - 17x + 6 = (x - 3)(x^2 + 5x - 2)\)
进行多项式除法时要注意：
如果 \(f(x)\) 是多项式，那么：
因式定理：\(f(p) = 0 \Leftrightarrow (x - p)\) 是 \(f(x)\) 的因式
例题：证明 \((x - 2)\) 是 \(x^3 + x^2 - 4x - 4\) 的因式
解答：
设 \(f(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4\)
\(f(2) = 8 + 4 - 8 - 4 = 0\)
根据因式定理，\((x - 2)\) 是 \(f(x)\) 的因式
如果多项式 \(f(x)\) 除以 \((ax - b)\)，则余数为 \(f(\frac{b}{a})\)。
余数定理：\(f(x) \div (ax - b)\) 的余数 = \(f(\frac{b}{a})\)
例题：求 \(x^3 - 20x + 3\) 除以 \((x - 4)\) 的余数
解答：
设 \(f(x) = x^3 - 20x + 3\)
余数 = \(f(4) = 64 - 80 + 3 = -13\)
使用余数定理时要注意：
数学证明必须满足：
常用的证明方法：
例题：证明两个奇数的乘积是奇数
解答：
设两个奇数为 \(2m + 1\) 和 \(2n + 1\)
\((2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1\)
这是奇数，因此两个奇数的乘积是奇数
穷举法是通过将陈述分解为有限个较小的案例，并分别证明每个案例来证明数学陈述为真的方法。
反例法是通过提供一个不满足陈述的例子来证明数学陈述为假的方法。
例题：证明100到200之间两个连续平方数的和是奇数
解答：
100到200之间的平方数：121, 144, 169, 196
连续平方数的和：121+144=265, 144+169=313, 169+196=365
所有结果都是奇数，因此命题得证
例题：证明"两个连续质数的和总是偶数"不成立
解答：
反例：2和3都是质数，2+3=5（奇数）
因此原陈述不成立
通过本章复习，你应该能够：