练习题
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写出以下圆的方程：
a) 圆心在 \((0,0)\)，半径为7
b) 圆心在 \((3,4)\)，半径为5
c) 圆心在 \((-2,5)\)，半径为3
使用圆的标准方程：\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)，其中 \((a,b)\) 是圆心，\(r\) 是半径。
求以下圆的圆心和半径：
a) \(x^2 + y^2 = 49\)
b) \((x-5)^2 + (y-12)^2 = 169\)
c) \((x+3)^2 + (y-7)^2 = 20\)
将方程与标准形式 \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) 比较，注意 \((x+3)^2 = (x-(-3))^2\)。
验证以下点是否在圆 \((x-2)^2 + (y+3)^2 = 25\) 上：
a) \((6,-3)\)
b) \((2,2)\)
c) \((5,1)\)
将点的坐标代入圆的方程，如果等式成立，则该点在圆上。
线段 \({AB}\) 是圆的直径，求圆的方程：
a) \(A(0,0)\) 和 \(B(8,6)\)
b) \(A(2,5)\) 和 \(B(8,-1)\)
c) \(A(-3,4)\) 和 \(B(5,-2)\)
先求中点得圆心，再求直径长度的一半得半径。
求以下圆的圆心和半径：
a) \(x^2 + y^2 + 6x - 8y + 9 = 0\)
b) \(x^2 + y^2 - 10x + 4y - 7 = 0\)
c) \(x^2 + y^2 + 4x + 12y - 60 = 0\)
使用配方将一般方程转换为标准形式，或直接使用公式：圆心 \((-f,-g)\)，半径 \(\sqrt{f^2 + g^2 - c}\)。
圆 \({C}\) 的圆心在 \((1,-2)\)，且经过点 \((4,2)\)。
a) 求圆的方程
b) 验证点 \((7,-2)\) 是否在圆上
c) 求圆与 \(x\) 轴的交点
a) 先求半径（圆心到给定点的距离）；b) 代入验证；c) 令 \(y = 0\) 求解。
a) \(x^2 + y^2 = 49\)
b) \((x-3)^2 + (y-4)^2 = 25\)
c) \((x+2)^2 + (y-5)^2 = 9\)
使用圆的标准方程 \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)，直接代入圆心坐标和半径。
a) 圆心 \((0,0)\)，半径 \(7\)
b) 圆心 \((5,12)\)，半径 \(13\)
c) 圆心 \((-3,7)\)，半径 \(2\sqrt{5}\)
将方程与标准形式比较，注意 \((x+3)^2 = (x-(-3))^2\)，所以圆心 \((-3,7)\)。
a) 在圆上：\((6-2)^2 + (-3+3)^2 = 16 + 0 = 16 \neq 25\) 错误
正确：\((6-2)^2 + (-3+3)^2 = 16 + 0 = 16 \neq 25\)，所以不在圆上
b) 在圆上：\((2-2)^2 + (2+3)^2 = 0 + 25 = 25\) ✓
c) 在圆上：\((5-2)^2 + (1+3)^2 = 9 + 16 = 25\) ✓
将点的坐标代入圆的方程 \((x-2)^2 + (y+3)^2 = 25\)，检查等式是否成立。
a) 圆心 \((4,3)\)，半径 \(5\)，方程：\((x-4)^2 + (y-3)^2 = 25\)
b) 圆心 \((5,2)\)，半径 \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)，方程：\((x-5)^2 + (y-2)^2 = 18\)
c) 圆心 \((1,1)\)，半径 \(\sqrt{26}\)，方程：\((x-1)^2 + (y-1)^2 = 26\)
使用中点公式求圆心，用距离公式求直径长度，然后求半径。
a) 圆心 \((-3,4)\)，半径 \(\sqrt{9 + 16 - 9} = 4\)
b) 圆心 \((5,-2)\)，半径 \(\sqrt{25 + 4 + 7} = 6\)
c) 圆心 \((-2,-6)\)，半径 \(\sqrt{4 + 36 + 60} = 10\)
使用公式：圆心 \((-f,-g)\)，半径 \(\sqrt{f^2 + g^2 - c}\)。
a) 半径 \(r = \sqrt{(4-1)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)
方程：\((x-1)^2 + (y+2)^2 = 25\)
b) \((7-1)^2 + (-2+2)^2 = 36 + 0 = 36 \neq 25\)，不在圆上
c) 令 \(y = 0\)：\((x-1)^2 + 4 = 25\)，\((x-1)^2 = 21\)
\(x = 1 \pm \sqrt{21}\)，交点为 \((1 + \sqrt{21}, 0)\) 和 \((1 - \sqrt{21}, 0)\)
a) 用距离公式求半径；b) 代入验证；c) 令 \(y = 0\) 求解与 \(x\) 轴的交点。