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圆是平面上到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点的集合。在坐标几何中，我们可以使用距离公式来推导圆的方程。
圆：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。
圆的方程推导基于距离公式：点 \((x,y)\) 到圆心 \((a,b)\) 的距离等于半径 \(r\)
即：\(\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r\)
圆的标准方程
\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)
其中 \((a,b)\) 是圆心坐标，\(r\) 是半径
当圆心在原点 \((0,0)\) 时，圆的方程有特殊的形式。这是最简单的情况，也是理解圆方程的基础。
圆心在原点的圆的方程
\(x^2 + y^2 = r^2\)
其中圆心是 \((0,0)\)，半径是 \(r\)
题目：写出圆心在原点，半径为5的圆的方程。
解答：
根据圆心在原点的圆的方程：\(x^2 + y^2 = r^2\)
代入 \(r = 5\)：\(x^2 + y^2 = 5^2\)
所以方程为：\(x^2 + y^2 = 25\)
题目：求圆 \(x^2 + y^2 = 16\) 的圆心和半径。
解答：
将方程与标准形式 \(x^2 + y^2 = r^2\) 比较
可以看出：圆心是 \((0,0)\)，半径是 \(\sqrt{16} = 4\)
当圆心不在原点时，我们需要使用更一般的形式来表示圆的方程。这种情况下，圆心坐标为 \((a,b)\)。
圆的一般方程
\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)
其中 \((a,b)\) 是圆心坐标，\(r\) 是半径
题目：写出圆心在 \((5,7)\)，半径为4的圆的方程。
解答：
根据圆的一般方程：\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)
代入 \(a = 5, b = 7, r = 4\)：
\((x-5)^2 + (y-7)^2 = 4^2\)
所以方程为：\((x-5)^2 + (y-7)^2 = 16\)
题目：求圆 \((x-3)^2 + (y+4)^2 = 20\) 的圆心和半径。
解答：
将方程与标准形式 \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) 比较
可以看出：圆心是 \((3,-4)\)，半径是 \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
要验证一个点是否在圆上，我们可以将该点的坐标代入圆的方程。如果方程成立，则该点在圆上。
题目：验证点 \((5,-8)\) 是否在圆 \((x-3)^2 + (y+4)^2 = 20\) 上。
解答：
将 \(x = 5\) 和 \(y = -8\) 代入方程：
\((5-3)^2 + (-8+4)^2 = 2^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20\)
因为 \(20 = 20\)，所以该点在圆上。
当已知圆的直径的两个端点时，我们可以先求出圆心和半径，然后写出圆的方程。
中点公式：两点 \((x_1,y_1)\) 和 \((x_2,y_2)\) 的中点是 \(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
距离公式：两点 \((x_1,y_1)\) 和 \((x_2,y_2)\) 的距离是 \(\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
题目：线段 \({AB}\) 是圆的直径，其中 \(A\) 和 \(B\) 分别是 \((4,7)\) 和 \((-8,3)\)。求圆的方程。
解答：
步骤1：求圆心（中点）
圆心 = \(\left(\frac{4+(-8)}{2}, \frac{7+3}{2}\right) = \left(\frac{-4}{2}, \frac{10}{2}\right) = (-2,5)\)
步骤2：求直径长度
\(|AB| = \sqrt{(-8-4)^2 + (3-7)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-4)^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\)
步骤3：求半径
半径 \(r = \frac{|AB|}{2} = \frac{4\sqrt{10}}{2} = 2\sqrt{10}\)
步骤4：写出方程
\((x-(-2))^2 + (y-5)^2 = (2\sqrt{10})^2\)
\((x+2)^2 + (y-5)^2 = 40\)
圆的一般方程是展开后的形式，通常写成 \(x^2 + y^2 + 2fx + 2gy + c = 0\)。我们可以通过配方将其转换回标准形式。
圆的一般方程
\(x^2 + y^2 + 2fx + 2gy + c = 0\)
圆心是 \((-f,-g)\)，半径是 \(\sqrt{f^2 + g^2 - c}\)
题目：求圆 \(x^2 + y^2 - 14x + 16y - 12 = 0\) 的圆心和半径。
解答：
步骤1：整理方程
\(x^2 - 14x + y^2 + 16y = 12\)
步骤2：配方
\(x^2 - 14x = (x - 7)^2 - 49\)
\(y^2 + 16y = (y + 8)^2 - 64\)
步骤3：代入并整理
\((x - 7)^2 - 49 + (y + 8)^2 - 64 = 12\)
\((x - 7)^2 + (y + 8)^2 = 12 + 49 + 64 = 125\)
结果：圆心是 \((7,-8)\)，半径是 \(\sqrt{125} = 5\sqrt{5}\)
在使用一般方程求半径时，要确保 \(f^2 + g^2 - c > 0\)，否则这个方程不表示一个实圆。当 \(f^2 + g^2 - c = 0\) 时，方程表示一个点；当 \(f^2 + g^2 - c < 0\) 时，方程不表示任何实图形。
通过本节的学习，你应该能够：