练习题
通过以下练习题巩固函数图像绘制的技能。每道题都包含详细的提示，帮助你掌握绘制各种函数图像的方法。
绘制二次函数图像
绘制函数 \(y = x^2 - 6x + 8\) 的图像，并标出顶点、截距和对称轴。
1. 首先确定抛物线开口方向（系数a的符号）
2. 计算顶点坐标：\(x = -\frac{b}{2a}\)
3. 寻找x截距：解方程 \(x^2 - 6x + 8 = 0\)
4. 寻找y截距：令x = 0
5. 根据这些关键点绘制图像
分析三次函数
分析函数 \(y = x^3 - 3x^2 + 2\) 的图像特征，找出所有截距、极值点和拐点。
1. 寻找截距：令y=0找x截距，令x=0找y截距
2. 求一阶导数找极值点：\(y' = 3x^2 - 6x\)
3. 求二阶导数判断极值性质：\(y'' = 6x - 6\)
4. 令二阶导数为零找可能的拐点
5. 分析函数的增减区间
有理函数图像
绘制函数 \(y = \frac{2x - 3}{x + 1}\) 的图像，标出渐近线、截距和关键特征。
1. 寻找垂直渐近线：令分母为零
2. 寻找水平渐近线：比较分子分母的最高次幂
3. 寻找截距：令x=0找y截距，令y=0找x截距
4. 可以将函数改写为：\(y = 2 - \frac{5}{x + 1}\)
5. 分析函数在渐近线附近的行为
函数变换
已知函数 \(y = f(x)\) 的图像，描述如何绘制 \(y = 2f(x - 3) + 1\) 的图像。
1. 分析变换的顺序：从外到内或从内到外
2. \(x - 3\)：表示图像向右平移3个单位
3. \(2f(...)\)：表示垂直方向拉伸2倍
4. \(... + 1\)：表示图像向上平移1个单位
5. 描述每个变换对原图像的影响
综合应用
一个物体的高度随时间变化的函数为 \(h(t) = -5t^2 + 20t + 1\)（单位：米，时间：秒）。绘制这个函数的图像，并分析物体的运动特征。
1. 这是一个二次函数，开口向下（a = -5 < 0）
2. 计算顶点：\(t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-5)} = 2\) 秒
3. 最大高度：\(h(2) = -5(4) + 20(2) + 1 = 21\) 米
4. 寻找t截距：解方程 \(-5t^2 + 20t + 1 = 0\)
5. 分析物理意义：上升时间、最大高度、下落时间
解答过程：
1. 顶点：\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2} = 3\)
\(y = 3^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1\)
顶点为 \((3, -1)\)
2. x截距：解 \(x^2 - 6x + 8 = 0\)
\((x - 2)(x - 4) = 0\)，所以 \(x = 2\) 或 \(x = 4\)
3. y截距：当 \(x = 0\) 时，\(y = 8\)
4. 对称轴：\(x = 3\)
图像为开口向上的抛物线，顶点在 \((3, -1)\)，经过点 \((2, 0)\)、\((4, 0)\) 和 \((0, 8)\)。
解答过程：
1. y截距：当 \(x = 0\) 时，\(y = 2\)
2. x截距：解 \(x^3 - 3x^2 + 2 = 0\)
通过试根法，发现 \(x = 1\) 是一个根
因式分解：\((x - 1)(x^2 - 2x - 2) = 0\)
所以x截距为 \(x = 1\) 和 \(x = 1 \pm \sqrt{3}\)
3. 极值点：\(y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\)
令 \(y' = 0\)，得 \(x = 0\) 或 \(x = 2\)
4. 极值性质：\(y'' = 6x - 6\)
当 \(x = 0\) 时，\(y'' = -6 < 0\)，所以 \((0, 2)\) 是极大值点
当 \(x = 2\) 时，\(y'' = 6 > 0\)，所以 \((2, -2)\) 是极小值点
5. 拐点：令 \(y'' = 0\)，得 \(x = 1\)，拐点为 \((1, 0)\)
解答过程：
1. 垂直渐近线：令分母为零，\(x + 1 = 0\)，所以 \(x = -1\)
2. 水平渐近线：因为分子分母最高次幂相同，
所以水平渐近线为 \(y = \frac{2}{1} = 2\)
3. x截距：令分子为零，\(2x - 3 = 0\)，所以 \(x = \frac{3}{2}\)
4. y截距：当 \(x = 0\) 时，\(y = \frac{-3}{1} = -3\)
5. 函数变形：
\(y = \frac{2x - 3}{x + 1} = \frac{2(x + 1) - 5}{x + 1} = 2 - \frac{5}{x + 1}\)
图像是双曲线，中心在 \((-1, 2)\)，经过点 \((\frac{3}{2}, 0)\) 和 \((0, -3)\)。
变换步骤：
从 \(y = f(x)\) 到 \(y = 2f(x - 3) + 1\) 的变换过程：
1. 水平平移：\(y = f(x - 3)\) - 图像向右平移3个单位
所有点的x坐标增加3
2. 垂直拉伸：\(y = 2f(x - 3)\) - 垂直方向拉伸2倍
所有点的y坐标乘以2
3. 垂直平移：\(y = 2f(x - 3) + 1\) - 图像向上平移1个单位
所有点的y坐标增加1
总结：原图像先右移3个单位，然后垂直拉伸2倍，最后上移1个单位。
解答过程：
1. 图像特征：这是一个开口向下的抛物线（a = -5 < 0）
2. 顶点（最大高度点）：
\(t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-5)} = 2\) 秒
\(h(2) = -5(4) + 20(2) + 1 = -20 + 40 + 1 = 21\) 米
3. t截距：解 \(-5t^2 + 20t + 1 = 0\)
\(t = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 20}}{-10} = \frac{-20 \pm \sqrt{420}}{-10}\)
\(t \approx -0.05\)（舍去）或 \(t \approx 4.05\) 秒
4. 物理意义：
- 物体在t=0时高度为1米
- 在t=2秒时达到最大高度21米
- 在t≈4.05秒时落回地面
- 上升时间为2秒，下落时间约为2.05秒