教材内容
图像绘制是数学分析中的重要技能，通过绘制函数图像可以直观地理解函数的性质和行为。在本节中，我们将学习如何绘制各种函数的图像，包括多项式函数、有理函数以及其他常见函数的图像。
函数图像：在坐标系中，函数 \(y = f(x)\) 的图像是所有满足该函数关系的点 \((x, f(x))\) 的集合。
绘制函数图像的基本步骤：
1. 确定函数的定义域
2. 寻找函数的截距（与x轴和y轴的交点）
3. 分析函数的对称性
4. 确定函数的渐近线
5. 寻找函数的极值点和拐点
6. 绘制关键点后连接成图
二次函数：\(y = ax^2 + bx + c\)
三次函数：\(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\)
有理函数：\(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\)
常见函数类型及其一般形式
不同类型的函数具有不同的图像特征。了解这些特征有助于我们快速准确地绘制函数图像。
线性函数 \(y = mx + c\) 的图像是一条直线。斜率 \(m\) 决定了直线的倾斜程度，截距 \(c\) 决定了直线与y轴的交点位置。
二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\) 的图像是抛物线。当 \(a > 0\) 时，抛物线开口向上；当 \(a < 0\) 时，抛物线开口向下。抛物线的顶点坐标为 \((-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))\)。
三次函数 \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) 的图像具有更复杂的形状，通常有一个或两个拐点，可能有局部极值点。
题目：绘制函数 \(y = x^2 - 4x + 3\) 的图像
解答：
1. 确定开口方向：因为 \(a = 1 > 0\)，所以抛物线开口向上
2. 寻找顶点：顶点x坐标为 \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2} = 2\)
顶点y坐标为 \(y = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\)
所以顶点为 \((2, -1)\)
3. 寻找x截距：解方程 \(x^2 - 4x + 3 = 0\)
\((x - 1)(x - 3) = 0\)，所以 \(x = 1\) 或 \(x = 3\)
4. 寻找y截距：当 \(x = 0\) 时，\(y = 3\)
根据这些关键点可以绘制出抛物线图像。
题目：分析函数 \(y = x^3 - 3x^2 + 2\) 的图像特征
解答：
1. 寻找截距：
y截距：当 \(x = 0\) 时，\(y = 2\)
x截距：解方程 \(x^3 - 3x^2 + 2 = 0\)
通过试根法，发现 \(x = 1\) 是一个根
用综合除法或因式分解：\((x - 1)(x^2 - 2x - 2) = 0\)
所以x截距为 \(x = 1\) 和 \(x = 1 \pm \sqrt{3}\)
2. 寻找极值点：求导数 \(y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\)
令 \(y' = 0\)，得 \(x = 0\) 或 \(x = 2\)
3. 确定极值性质：二阶导数 \(y'' = 6x - 6\)
当 \(x = 0\) 时，\(y'' = -6 < 0\)，所以 \((0, 2)\) 是极大值点
当 \(x = 2\) 时，\(y'' = 6 > 0\)，所以 \((2, -2)\) 是极小值点
有理函数 \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\) 的图像绘制需要特别注意渐近线的分析。
题目：分析函数 \(y = \frac{x + 1}{x - 2}\) 的图像特征
解答：
1. 垂直渐近线：分母为零时，\(x - 2 = 0\)，所以 \(x = 2\) 是垂直渐近线
2. 水平渐近线：因为分子和分母的最高次幂相同，
所以水平渐近线为 \(y = \frac{1}{1} = 1\)
3. x截距：令分子为零，\(x + 1 = 0\)，所以 \(x = -1\)
4. y截距：当 \(x = 0\) 时，\(y = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}\)
5. 函数变形：\(y = \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{x - 2 + 3}{x - 2} = 1 + \frac{3}{x - 2}\)
这显示了函数如何从渐近线偏离。
了解基本函数的图像后，我们可以通过变换来绘制更复杂的函数图像。常见的变换包括平移、伸缩和反射。
水平平移：\(y = f(x - a)\) 表示将 \(y = f(x)\) 的图像向右平移 \(a\) 个单位
垂直平移：\(y = f(x) + b\) 表示将 \(y = f(x)\) 的图像向上平移 \(b\) 个单位
水平伸缩：\(y = f(kx)\) 表示水平方向的伸缩变换
垂直伸缩：\(y = af(x)\) 表示垂直方向的伸缩变换
反射：\(y = -f(x)\) 表示关于x轴的反射
在绘制函数图像时，要特别注意函数的定义域和特殊点（如不连续点、尖点等）。对于复杂函数，可能需要结合多种分析方法。
通过本节的学习，你应该能够：