指数函数与对数函数综合练习
在同一坐标系中绘制函数 \(y = 2^x\) 和 \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) 的图像，并标出所有交点和渐近线。
注意 \(\left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}\)，这是 \(y = 2^x\) 关于 \(y\) 轴的反射。
两个函数都过点 \((0, 1)\)，\(y = 2^x\) 单调递增，\(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) 单调递减。
交点在 \((0, 1)\)，\(x\) 轴是两条曲线的水平渐近线。
计算下列对数的值（不使用计算器）：
a) \(\log_2 8\) b) \(\log_3 81\) c) \(\log_5 0.2\) d) \(\log_{10} 1000\)
a) \(\log_2 8 = 3\)（因为 \(2^3 = 8\)）
b) \(\log_3 81 = 4\)（因为 \(3^4 = 81\)）
c) \(\log_5 0.2 = -1\)（因为 \(5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2\)）
d) \(\log_{10} 1000 = 3\)（因为 \(10^3 = 1000\)）
将下列表达式写成单个对数：
a) \(\log_3 5 + \log_3 7\) b) \(\log_2 20 - \log_2 5\) c) \(3\log_4 2\)
a) \(\log_3 5 + \log_3 7 = \log_3 (5 \times 7) = \log_3 35\)
b) \(\log_2 20 - \log_2 5 = \log_2 \left(\frac{20}{5}\right) = \log_2 4 = 2\)
c) \(3\log_4 2 = \log_4 2^3 = \log_4 8\)
解下列方程，答案保留3位有效数字：
a) \(3^x = 50\) b) \(2^{x+1} = 15\) c) \(5^{2x-1} = 100\)
对于形如 \(a^x = b\) 的方程，使用 \(x = \log_a b\)。
a) \(3^x = 50 \Rightarrow x = \log_3 50 = 3.56\)
b) \(2^{x+1} = 15 \Rightarrow x+1 = \log_2 15 \Rightarrow x = \log_2 15 - 1 = 2.91\)
c) \(5^{2x-1} = 100 \Rightarrow 2x-1 = \log_5 100 \Rightarrow x = \frac{\log_5 100 + 1}{2} = 1.86\)
解方程 \(2^{2x} - 6(2^x) + 8 = 0\)
设 \(y = 2^x\)，将方程转化为关于 \(y\) 的二次方程。
设 \(y = 2^x\)，则方程变为：\(y^2 - 6y + 8 = 0\)
\((y - 2)(y - 4) = 0\)
\(y = 2\) 或 \(y = 4\)
当 \(y = 2\) 时：\(2^x = 2 \Rightarrow x = 1\)
当 \(y = 4\) 时：\(2^x = 4 \Rightarrow x = 2\)
所以 \(x = 1\) 或 \(x = 2\)
解方程 \(\log_2 (x + 3) - \log_2 (x - 1) = 2\)
使用对数的除法法则：\(\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)\)
\(\log_2 (x + 3) - \log_2 (x - 1) = 2\)
\(\log_2 \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right) = 2\)
\(\frac{x + 3}{x - 1} = 2^2 = 4\)
\(x + 3 = 4(x - 1)\)
\(x + 3 = 4x - 4\)
\(7 = 3x\)
\(x = \frac{7}{3}\)
检验：\(x = \frac{7}{3} > 1\)，满足真数大于0的条件。
解方程 \(3^x = 2^{x+1}\)，答案保留4位小数。
两边取对数，使用换底公式或直接使用常用对数。
\(3^x = 2^{x+1}\)
两边取常用对数：\(\log 3^x = \log 2^{x+1}\)
\(x\log 3 = (x+1)\log 2\)
\(x\log 3 = x\log 2 + \log 2\)
\(x(\log 3 - \log 2) = \log 2\)
\(x = \frac{\log 2}{\log 3 - \log 2} = \frac{0.3010}{0.4771 - 0.3010} = \frac{0.3010}{0.1761} = 1.7095\)
已知 \(\log_a p = 2\) 和 \(\log_a q = 3\)，求：
a) \(\log_a (p^2 q)\) b) \(\log_a \left(\frac{p}{q^2}\right)\) c) \(\log_a \sqrt{pq}\)
a) \(\log_a (p^2 q) = \log_a p^2 + \log_a q = 2\log_a p + \log_a q = 2(2) + 3 = 7\)
b) \(\log_a \left(\frac{p}{q^2}\right) = \log_a p - \log_a q^2 = \log_a p - 2\log_a q = 2 - 2(3) = -4\)
c) \(\log_a \sqrt{pq} = \log_a (pq)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log_a (pq) = \frac{1}{2}(\log_a p + \log_a q) = \frac{1}{2}(2 + 3) = \frac{5}{2}\)
解方程 \(\log_5 x + 6\log_x 5 = 5\)
设 \(\log_5 x = y\)，则 \(\log_x 5 = \frac{1}{y}\)（使用换底公式）。
设 \(\log_5 x = y\)，则 \(\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x} = \frac{1}{y}\)
原方程变为：\(y + 6 \cdot \frac{1}{y} = 5\)
\(y + \frac{6}{y} = 5\)
\(y^2 + 6 = 5y\)
\(y^2 - 5y + 6 = 0\)
\((y - 2)(y - 3) = 0\)
\(y = 2\) 或 \(y = 3\)
当 \(y = 2\) 时：\(\log_5 x = 2 \Rightarrow x = 5^2 = 25\)
当 \(y = 3\) 时：\(\log_5 x = 3 \Rightarrow x = 5^3 = 125\)
所以 \(x = 25\) 或 \(x = 125\)
某细菌数量按指数增长，初始数量为1000个，每2小时增长一倍。设 \(N(t)\) 表示 \(t\) 小时后的细菌数量。
a) 写出 \(N(t)\) 的表达式
b) 求24小时后的细菌数量
c) 细菌数量达到100万个需要多长时间？（答案保留1位小数）
a) 每2小时增长一倍，所以 \(N(t) = 1000 \times 2^{\frac{t}{2}} = 1000 \times 2^{0.5t}\)
b) \(N(24) = 1000 \times 2^{0.5 \times 24} = 1000 \times 2^{12} = 1000 \times 4096 = 4,096,000\) 个
c) 设 \(N(t) = 1,000,000\)，则：
\(1000 \times 2^{0.5t} = 1,000,000\)
\(2^{0.5t} = 1000\)
\(0.5t = \log_2 1000\)
\(t = 2\log_2 1000 = 2 \times 9.97 = 19.9\) 小时
已知函数 \(f(x) = 2^x\) 和 \(g(x) = \log_2 x\)。
a) 证明 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 互为反函数
b) 求 \(f(g(8))\) 和 \(g(f(3))\) 的值
c) 解方程 \(f(x) = g(x)\)
a) 设 \(y = f(x) = 2^x\)，则 \(x = \log_2 y\)，所以 \(f^{-1}(x) = \log_2 x = g(x)\)
因此 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 互为反函数。
b) \(f(g(8)) = f(\log_2 8) = f(3) = 2^3 = 8\)
\(g(f(3)) = g(2^3) = g(8) = \log_2 8 = 3\)
c) \(f(x) = g(x) \Rightarrow 2^x = \log_2 x\)
由于 \(2^x > 0\) 且 \(\log_2 x\) 只在 \(x > 0\) 时定义，我们需要 \(x > 0\)。
通过观察，\(x = 2\) 时：\(2^2 = 4\)，\(\log_2 2 = 1\)，不相等
\(x = 4\) 时：\(2^4 = 16\)，\(\log_2 4 = 2\)，不相等
实际上，这个方程没有解析解，需要通过数值方法求解。