指数函数与对数函数综合复习
形如 \(f(x) = a^x\) 的函数称为指数函数，其中 \(a\) 是常数，\(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)。
指数函数的基本性质：
例题：在同一坐标系中绘制 \(y = 2^x\)、\(y = 3^x\) 和 \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) 的图像。
解答：
• \(y = 2^x\)：过点 \((0,1)\)，单调递增
• \(y = 3^x\)：过点 \((0,1)\)，单调递增，增长更快
• \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}\)：过点 \((0,1)\)，单调递减
如果 \(a^x = n\)（其中 \(a > 0, a \neq 1, n > 0\)），那么 \(x\) 叫做以 \(a\) 为底 \(n\) 的对数，记作 \(\log_a n = x\)。
对数与指数的关系：\(a^x = n \Leftrightarrow \log_a n = x\)
例题：将下列指数式写成对数式：
a) \(3^2 = 9\) b) \(2^7 = 128\) c) \(64^{\frac{1}{2}} = 8\)
解答：
a) \(\log_3 9 = 2\)
b) \(\log_2 128 = 7\)
c) \(\log_{64} 8 = \frac{1}{2}\)
对数的基本性质：
对数的三个基本运算法则：
特殊情形：\(\log_a \left(\frac{1}{x}\right) = -\log_a x\)
例题：将下列表达式写成单个对数：
a) \(\log_3 6 + \log_3 7\) b) \(\log_2 15 - \log_2 3\) c) \(2\log_5 3 + 3\log_5 2\)
解答：
a) \(\log_3 6 + \log_3 7 = \log_3 (6 \times 7) = \log_3 42\)
b) \(\log_2 15 - \log_2 3 = \log_2 \left(\frac{15}{3}\right) = \log_2 5\)
c) \(2\log_5 3 + 3\log_5 2 = \log_5 3^2 + \log_5 2^3 = \log_5 9 + \log_5 8 = \log_5 72\)
对于形如 \(a^x = b\) 的方程，可以两边取对数求解：
\(\log_a (a^x) = \log_a b\)，即 \(x = \log_a b\)
用对数解指数方程的步骤：
例题：解方程 \(3^x = 20\)，答案保留3位小数。
解答：
\(3^x = 20\)
\(x = \log_3 20\)
\(x = 2.727\)（保留3位小数）
例题：解方程 \(5^{2x} - 12(5^x) + 20 = 0\)
解答：
设 \(y = 5^x\)，则方程变为：\(y^2 - 12y + 20 = 0\)
\((y - 10)(y - 2) = 0\)
\(y = 10\) 或 \(y = 2\)
当 \(y = 10\) 时：\(5^x = 10\)，所以 \(x = \log_5 10 = 1.43\)
当 \(y = 2\) 时：\(5^x = 2\)，所以 \(x = \log_5 2 = 0.431\)
解对数方程时要注意：
对于任意正数 \(a, b, x\)（\(a \neq 1, b \neq 1\)），有：
\(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}\)
特殊情形：\(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\)
例题：求 \(\log_8 11\) 的值，保留3位有效数字。
解答：
\(\log_8 11 = \frac{\log_{10} 11}{\log_{10} 8} = \frac{1.041}{0.903} = 1.15\)
例题：解方程 \(\log_5 x + 6\log_x 5 = 5\)
解答：
设 \(\log_5 x = y\)，则 \(\log_x 5 = \frac{1}{y}\)
原方程变为：\(y + \frac{6}{y} = 5\)
\(y^2 + 6 = 5y\)
\(y^2 - 5y + 6 = 0\)
\((y - 2)(y - 3) = 0\)
\(y = 2\) 或 \(y = 3\)
当 \(y = 2\) 时：\(\log_5 x = 2\)，所以 \(x = 5^2 = 25\)
当 \(y = 3\) 时：\(\log_5 x = 3\)，所以 \(x = 5^3 = 125\)
通过本章复习，你应该能够：