4.1 Pascal's Triangle - 知识点总结

1. 帕斯卡三角形的基本概念 / Basic Concept of Pascal's Triangle

1.1 定义 / Definition

中文：帕斯卡三角形是一个由数字组成的三角形阵列，其中每个数字都是其上方两个数字的和。

English: Pascal's triangle is a triangular array of numbers where each number is the sum of the two numbers above it.

1.2 构造规律 / Construction Rule

中文：帕斯卡三角形的构造遵循以下规律：

• 第一行只有一个数字 1
• 每行的两端都是 1
• 中间的数字等于其上方两个数字的和

English: Pascal's triangle follows these rules:

• The first row contains only the number 1
• Each row starts and ends with 1
• Each interior number is the sum of the two numbers above it

        1
       1 1
      1 2 1
     1 3 3 1
    1 4 6 4 1
   1 5 10 10 5 1
  1 6 15 20 15 6 1
      

2. 二项式展开系数 / Binomial Expansion Coefficients

2.1 系数规律 / Coefficient Pattern

中文：帕斯卡三角形的第 \(n+1\) 行给出了 \((a+b)^n\) 展开式中各项的系数。

English: The \((n+1)\)th row of Pascal's triangle gives the coefficients in the expansion of \((a+b)^n\).

2.2 总指数规律 / Total Index Rule

中文：在 \((a+b)^n\) 的展开式中，每一项的总指数都是 \(n\)。

English: In the expansion of \((a+b)^n\), every term has a total index of \(n\).

3. 使用帕斯卡三角形展开 / Using Pascal's Triangle for Expansion

3.1 展开步骤 / Expansion Steps

中文：使用帕斯卡三角形展开 \((a+b)^n\) 的步骤：

1. 确定指数 \(n\)，找到第 \(n+1\) 行的系数
2. 写出各项，第一项是 \(a^n\)，最后一项是 \(b^n\)
3. 中间各项的系数来自帕斯卡三角形
4. 各项中 \(a\) 的指数递减，\(b\) 的指数递增

English: Steps to expand \((a+b)^n\) using Pascal's triangle:

1. Identify the power \(n\) and find the coefficients in the \((n+1)\)th row
2. Write the terms, starting with \(a^n\) and ending with \(b^n\)
3. Use coefficients from Pascal's triangle for middle terms
4. Powers of \(a\) decrease while powers of \(b\) increase

4. 关键要点 / Key Points