教材内容
等差数列求和是数列与级数的重要内容。等差数列求和是指将等差数列的前n项相加的过程。通过本节的学习，我们将掌握等差数列求和公式的推导过程，并能够熟练运用公式解决实际问题。
等差数列求和：将等差数列的前n项相加的过程，记作 \(S_n\)。
等差数列：5, 7, 9, 11 是一个等差数列。
等差数列求和：\(5 + 7 + 9 + 11\) 是一个等差数列求和。
等差数列求和公式：
\[S_n = \frac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)\]
其中：
• \(a\) 是首项
• \(d\) 是公差
• \(n\) 是项数
• \(S_n\) 是前n项的和
题目：证明前100个自然数的和是5050。
解答：
自然数是正整数：1, 2, 3, 4, ...
设 \(S_{100} = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100\) (1)
将和式倒写：\(S_{100} = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1\) (2)
将(1)和(2)相加：
\(2S_{100} = (1+100) + (2+99) + (3+98) + ... + (100+1)\)
\(2S_{100} = 101 + 101 + 101 + ... + 101\) (共100个101)
\(2S_{100} = 100 \times 101\)
\[S_{100} = \frac{100 \times 101}{2} = 5050\]
题目：证明等差数列前n项的和公式 \(S_n = \frac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)\)。
解答：
设等差数列的首项为 \(a\)，公差为 \(d\)，则：
\(S_n = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-2)d) + (a+(n-1)d)\) (1)
将和式倒写：
\(S_n = (a+(n-1)d) + (a+(n-2)d) + ... + (a+2d) + (a+d) + a\) (2)
将(1)和(2)相加：
\(2S_n = [a+(a+(n-1)d)] + [(a+d)+(a+(n-2)d)] + ... + [(a+(n-1)d)+a]\)
\(2S_n = [2a+(n-1)d] + [2a+(n-1)d] + ... + [2a+(n-1)d]\) (共n项)
\(2S_n = n[2a+(n-1)d]\)
\[S_n = \frac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)\]
等差数列求和公式的另一种形式：
\[S_n = \frac{n}{2}(a + l)\]
其中 \(l\) 是第n项（最后一项）
题目：求等差数列 \(32 + 27 + 22 + 17 + 12 + ...\) 的前50项和。
解答：
首项 \(a = 32\)，公差 \(d = -5\)
使用公式：\(S_n = \frac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)\)
\(S_{50} = \frac{50}{2}\left(2 \times 32 + (50-1) \times (-5)\right)\)
\(S_{50} = 25 \times (64 + 49 \times (-5))\)
\(S_{50} = 25 \times (64 - 245)\)
\(S_{50} = 25 \times (-181)\)
\(S_{50} = -4525\)
题目：求使等差数列 \(4 + 9 + 14 + 19 + ...\) 的和超过2000的最少项数。
解答：
首项 \(a = 4\)，公差 \(d = 5\)
设需要n项使和超过2000，即 \(S_n > 2000\)
使用公式：\(S_n = \frac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)\)
\(\frac{n}{2}\left(2 \times 4 + (n-1) \times 5\right) > 2000\)
\(\frac{n}{2}(8 + 5n - 5) > 2000\)
\(\frac{n}{2}(5n + 3) > 2000\)
\(n(5n + 3) > 4000\)
\(5n^2 + 3n - 4000 > 0\)
解这个二次不等式：
\(n = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 80000}}{10} = \frac{-3 \pm \sqrt{80009}}{10}\)
\(n \approx 27.99\) 或 \(-28.59\)
因为n必须是正整数，所以需要28项。
在使用等差数列求和公式时，要确保正确识别首项a和公差d。当公差为负数时，数列是递减的，但求和公式仍然适用。
通过本节的学习，你应该能够：