练习题
下列哪些是几何数列？对于是几何数列的，给出公比 r 的值。
a) 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
b) 2, 5, 8, 11, 14, ...
c) 40, 36, 32, 28, ...
d) 2, 6, 18, 54, 162, ...
e) 10, 5, 2.5, 1.25, ...
f) 5, -5, 5, -5, 5, ...
g) 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...
h) 4, -1, 0.25, -0.0625, ...
a) 是几何数列，\( r = 2 \)
b) 不是几何数列（等差数列）
c) 不是几何数列（等差数列）
d) 是几何数列，\( r = 3 \)
e) 是几何数列，\( r = 0.5 \)
f) 是几何数列，\( r = -1 \)
g) 是几何数列，\( r = 1 \)
h) 是几何数列，\( r = -0.25 \)
继续下列几何数列，写出接下来的三项：
a) 5, 15, 45, ...
b) 4, -8, 16, ...
c) 60, 30, 15, ...
d) 1, \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{16}\), ...
e) 1, p, p², ...
f) x, -2x², 4x³, ...
a) 135, 405, 1215
b) -32, 64, -128
c) 7.5, 3.75, 1.875
d) \(\frac{1}{64}\), \(\frac{1}{256}\), \(\frac{1}{1024}\)
e) p³, p⁴, p⁵
f) -8x⁴, 16x⁵, -32x⁶
如果 3, x 和 9 是几何数列的前三项，求：
a) x 的精确值
b) 第4项的精确值
在几何数列中，公比可以通过 \( \frac{u_2}{u_1} \) 或 \( \frac{u_3}{u_2} \) 计算。
a) \( \frac{x}{3} = \frac{9}{x} \)
\( x^2 = 27 \)
\( x = 3\sqrt{3} \)
b) \( r = \frac{x}{3} = \sqrt{3} \)
第4项 \( = 9 \times \sqrt{3} = 9\sqrt{3} \)
求下列几何数列的第6项和第 n 项：
a) 2, 6, 18, 54, ...
b) 100, 50, 25, 12.5, ...
c) 1, -2, 4, -8, ...
d) 1, 1.1, 1.21, 1.331, ...
a) \( r = 3 \), 第6项 = 486, \( u_n = 2 \times 3^{n-1} \)
b) \( r = 0.5 \), 第6项 = 3.125, \( u_n = 100 \times 0.5^{n-1} \)
c) \( r = -2 \), 第6项 = 32, \( u_n = (-2)^{n-1} \)
d) \( r = 1.1 \), 第6项 = 1.61051, \( u_n = 1.1^{n-1} \)
几何数列的第 n 项是 \( 2 \times 5^n \)。求第1项和第5项。
第1项：\( u_1 = 2 \times 5^1 = 10 \)
第5项：\( u_5 = 2 \times 5^5 = 2 \times 3125 = 6250 \)
几何数列的第6项是32，第3项是4。求首项和公比。
\( u_6 = ar^5 = 32 \) ... (1)
\( u_3 = ar^2 = 4 \) ... (2)
(1) ÷ (2): \( r^3 = 8 \)
\( r = 2 \)
代入(2): \( a \times 4 = 4 \)
\( a = 1 \)
所以首项 \( a = 1 \)，公比 \( r = 2 \)
几何数列的首项是4，第3项是1。求第6项的两个可能值。
\( u_3 = ar^2 = 1 \)
\( 4r^2 = 1 \)
\( r^2 = \frac{1}{4} \)
\( r = \pm\frac{1}{2} \)
当 \( r = \frac{1}{2} \) 时：\( u_6 = 4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{8} \)
当 \( r = -\frac{1}{2} \) 时：\( u_6 = 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = -\frac{1}{8} \)
几何数列的前三项分别是 \( 8-x \), \( 2x \), \( x^2 \)，其中 \( x > 0 \)。
a) 证明 \( x^3 - 4x^2 = 0 \)
b) 求第20项的值
c) 说明4096是否是数列中的一项
a) \( \frac{2x}{8-x} = \frac{x^2}{2x} \)
\( \frac{2x}{8-x} = \frac{x}{2} \)
\( 4x = x(8-x) \)
\( 4x = 8x - x^2 \)
\( x^2 - 4x = 0 \)
\( x(x-4) = 0 \)
因为 \( x > 0 \)，所以 \( x = 4 \)
验证：\( x^3 - 4x^2 = 64 - 64 = 0 \) ✓
b) \( a = 4, r = 2 \)
\( u_{20} = 4 \times 2^{19} = 2,097,152 \)
c) 设 \( 4 \times 2^{n-1} = 4096 \)
\( 2^{n-1} = 1024 = 2^{10} \)
\( n-1 = 10 \)
\( n = 11 \)
所以4096是第11项
几何数列的首项是200，公比是 p，其中 p > 0。数列的第6项是40。
a) 证明 p 满足方程 \( 5\log p + \log 5 = 0 \)
b) 因此或其他方法，求 p 的值，精确到3位有效数字
a) \( u_6 = 200 \times p^5 = 40 \)
\( p^5 = \frac{40}{200} = \frac{1}{5} \)
取对数：\( 5\log p = \log\left(\frac{1}{5}\right) = -\log 5 \)
所以 \( 5\log p + \log 5 = 0 \)
b) \( p^5 = \frac{1}{5} \)
\( p = \left(\frac{1}{5}\right)^{1/5} = 5^{-1/5} \)
\( p \approx 0.725 \)（精确到3位有效数字）
几何数列的首项是4，第4项是108。求数列中第 k 项超过500,000的最小 k 值。
\( u_4 = ar^3 = 108 \)
\( 4r^3 = 108 \)
\( r^3 = 27 \)
\( r = 3 \)
\( u_k = 4 \times 3^{k-1} > 500,000 \)
\( 3^{k-1} > 125,000 \)
取对数：\( (k-1)\log 3 > \log 125,000 \)
\( k-1 > \frac{\log 125,000}{\log 3} \)
\( k-1 > 10.7 \)
\( k > 11.7 \)
所以最小的 k 值是 12