5.3 Geometric Sequences

示例1：求几何数列的特定项

题目：求下列几何数列的第10项和第 n 项：

a) 3, 6, 12, 24, ...

解答：

对于这个数列 \( a = 3 \) 且 \( r = \frac{6}{3} = 2 \)

i) 第10项 \( = 3 \times 2^9 = 3 \times 512 = 1536 \)

ii) 第 n 项 \( = 3 \times 2^{n-1} \)

示例2：负公比的几何数列

题目：求下列几何数列的第10项和第 n 项：

b) 40, -20, 10, -5, ...

解答：

对于这个数列 \( a = 40 \) 且 \( r = -\frac{20}{40} = -\frac{1}{2} \)

i) 第10项 \( = 40 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^9 \)

\( = 40 \times \left(-\frac{1}{512}\right) = -\frac{5}{64} \)

ii) 第 n 项 \( = 40 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)

\( = 5 \times 8 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)

\( = 5 \times 2^3 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)

\( = (-1)^{n-1} \times \frac{5}{2^{n-4}} \)

示例3：求几何数列的常数

题目：几何数列的第2项是4，第4项是8。给定公比为正数，求数列第11项的精确值。

解答：

第 n 项 \( = ar^{n-1} \)，所以第2项是 \( ar \)，第4项是 \( ar^3 \)

\( ar = 4 \) ... (1)

\( ar^3 = 8 \) ... (2)

方程(2)除以方程(1)：

\( \frac{ar^3}{ar} = \frac{8}{4} \)

\( r^2 = 2 \)

\( r = \sqrt{2} \)

代入方程(1)：

\( a\sqrt{2} = 4 \)

\( a = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \)

第11项 \( = (2\sqrt{2})(\sqrt{2})^{10} = 64\sqrt{2} \)

示例4：求几何数列的项

题目：数字 3, x 和 (x + 6) 构成一个所有项都为正数的几何数列的前三项。求：

a) x 的可能值

b) 数列的第10项

解答：

在几何数列中，相邻两项的比值相同，所以 \( \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} \)

\( \frac{x}{3} = \frac{x + 6}{x} \)

\( x^2 = 3(x + 6) \)

\( x^2 = 3x + 18 \)

\( x^2 - 3x - 18 = 0 \)

\( (x - 6)(x + 3) = 0 \)

\( x = 6 \) 或 -3

因为没有负项，所以 \( x = 6 \)

b) 第10项 \( = ar^9 = 3 \times 2^9 = 3 \times 512 = 1536 \)

示例5：求超过特定值的项

题目：几何级数 3, 6, 12, 24, ... 中第一个超过100万的项是什么？

解答：

第 n 项 \( = ar^{n-1} = 3 \times 2^{n-1} \)

我们要求第 n 项 > 1,000,000

数列有 \( a = 3 \) 和 \( r = 2 \)

\( 3 \times 2^{n-1} > 1,000,000 \)

\( 2^{n-1} > \frac{1,000,000}{3} \)

\( 2^{n-1} > 333,333.33 \)

使用对数：\( (n-1)\log 2 > \log 333,333.33 \)

\( n-1 > \frac{\log 333,333.33}{\log 2} \)

\( n-1 > 18.35 \)

\( n > 19.35 \)

所以 \( n = 20 \)，第20项是第一个超过100万的项