递推关系
如果你知道从一个项到下一个项的规则，你可以写出一个递推关系。递推关系的形式 \( u_{n+1} = f(u_n) \) 将数列的每一项定义为前一项的函数。
例如，递推关系 \( u_{n+1} = 2u_n + 3, u_1 = 6 \) 产生以下数列：
\( u_2 = 2u_1 + 3 = 2(6) + 3 = 15 \)
递推关系：用前一项或前几项来表示当前项的数学关系式。形式为 \( u_{n+1} = f(u_n) \) 或 \( u_{n+1} = f(u_n, u_{n-1}, \ldots) \)。
递推关系的特点：
• 需要知道首项（初始条件）才能生成整个数列
• 每一项都依赖于前一项或前几项
• 可以表示复杂的数列规律
• 常用于计算机科学和数学建模
题目：求下列数列的前四项。
a) \( u_{n+1} = u_n + 4, u_1 = 7 \)
b) \( u_{n+1} = u_n + 4, u_1 = 5 \)
解答：
a) \( u_{n+1} = u_n + 4, u_1 = 7 \)
代入 n = 1：\( u_2 = u_1 + 4 = 7 + 4 = 11 \)
代入 n = 2：\( u_3 = u_2 + 4 = 11 + 4 = 15 \)
代入 n = 3：\( u_4 = u_3 + 4 = 15 + 4 = 19 \)
数列是：7, 11, 15, 19, ...
b) \( u_{n+1} = u_n + 4, u_1 = 5 \)
代入 n = 1：\( u_2 = u_1 + 4 = 5 + 4 = 9 \)
代入 n = 2：\( u_3 = u_2 + 4 = 9 + 4 = 13 \)
代入 n = 3：\( u_4 = u_3 + 4 = 13 + 4 = 17 \)
数列是：5, 9, 13, 17, ...
注意：这是相同的递推公式，但因为 \( u_1 \) 不同，所以产生不同的数列。
题目：数列 \( a_1, a_2, a_3, \ldots \) 定义为：
\( a_1 = p \)
\( a_{n+1} = (a_n)^2 - 1, n \geq 1 \)
其中 \( p < 0 \)。
a) 证明 \( a_3 = p^4 - 2p^2 \)
b) 给定 \( a_2 = 0 \)，求 p 的值
c) 求 \( \sum_{r=1}^{200} a_r \)
d) 写出 \( a_{199} \) 的值
解答：
a) \( a_1 = p \)
\( a_2 = (a_1)^2 - 1 = p^2 - 1 \)
\( a_3 = (a_2)^2 - 1 = (p^2 - 1)^2 - 1 \)
\( = p^4 - 2p^2 + 1 - 1 = p^4 - 2p^2 \) ✓
b) \( a_2 = p^2 - 1 = 0 \)
\( p^2 = 1 \)
\( p = \pm 1 \)，但因为 \( p < 0 \)，所以 \( p = -1 \)
c) 当 \( p = -1 \) 时：
\( a_1 = -1, a_2 = 0, a_3 = -1, a_4 = 0, \ldots \)
数列在 -1 和 0 之间交替。
前200项中有100个 -1 和100个 0。
\( \sum_{r=1}^{200} a_r = -100 \)
d) \( a_{199} = -1 \)（因为199是奇数）
题目：数列定义为递推关系 \( u_{n+1} = ku_n + 2 \)，其中 k 是常数。给定 \( u_1 = 3 \)：
a) 用 k 表示 \( u_2 \)
b) 因此用 k 表示 \( u_3 \)
c) 给定 \( u_3 = 42 \)，求 k 的可能值
解答：
a) \( u_2 = ku_1 + 2 = k(3) + 2 = 3k + 2 \)
b) \( u_3 = ku_2 + 2 = k(3k + 2) + 2 = 3k^2 + 2k + 2 \)
c) \( u_3 = 3k^2 + 2k + 2 = 42 \)
\( 3k^2 + 2k + 2 = 42 \)
\( 3k^2 + 2k - 40 = 0 \)
\( (3k - 10)(k + 4) = 0 \)
\( k = \frac{10}{3} \) 或 \( k = -4 \)
题目：数列定义为递推关系：
\( u_{n+1} = pu_n + q, u_1 = 2 \)
给定 \( u_2 = -1 \) 且 \( u_3 = 11 \)，求 p 和 q 的值。
解答：
\( u_2 = pu_1 + q = p(2) + q = 2p + q = -1 \) ... (1)
\( u_3 = pu_2 + q = p(-1) + q = -p + q = 11 \) ... (2)
从方程(1)：\( q = -1 - 2p \)
代入方程(2)：\( -p + (-1 - 2p) = 11 \)
\( -p - 1 - 2p = 11 \)
\( -3p - 1 = 11 \)
\( -3p = 12 \)
\( p = -4 \)
\( q = -1 - 2(-4) = -1 + 8 = 7 \)
所以 \( p = -4, q = 7 \)
在求解递推关系问题时，要确保正确理解递推公式的含义。递推关系通常需要初始条件才能完全确定数列。对于复杂的递推关系，可能需要通过前几项来发现规律。
通过本节的学习，你应该能够：