知识点总结
数列是按一定顺序排列的一列数。数列中的每个数称为项，第n项记作u_n。
等差数列通项公式：\( u_n = a + (n-1)d \)
几何数列通项公式：\( u_n = ar^{n-1} \)
无穷级数求和公式：\( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} \) (当|r| < 1时)
定义：相邻两项的差是常数的数列
通项公式：\( u_n = a + (n-1)d \)
求和公式：\( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}(a + u_n) \)
性质：\( u_n = \frac{u_{n-k} + u_{n+k}}{2} \) (当k < n时)
定义：相邻两项的比是常数的数列
通项公式：\( u_n = ar^{n-1} \)
求和公式：\( S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \) (当r ≠ 1时)
无穷级数：\( S_{\infty} = \frac{a}{1-r} \) (当|r| < 1时)
基本形式：\( \sum_{r=1}^{n} u_r \)
线性性质：\( \sum_{r=1}^{n} (au_r + bv_r) = a\sum_{r=1}^{n} u_r + b\sum_{r=1}^{n} v_r \)
常用公式：
• \( \sum_{r=1}^{n} 1 = n \)
• \( \sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2} \)
• \( \sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
线性递推关系：\( u_{n+1} = au_n + b \)
二次递推关系：\( u_{n+1} = au_n^2 + bu_n + c \)
分式递推关系：\( u_{n+1} = \frac{au_n + b}{cu_n + d} \)
注意：递推关系需要初始条件才能确定数列
等差数列有公差，相邻两项差相同
通项公式要记牢，首项加公差乘n减一
几何数列有公比，相邻两项比相同
通项公式要记牢，首项乘公比的n减一次方
无穷级数有极限，公比绝对值要小于一
求和记号Σ要会用，上下限要记清楚
递推关系有规律，前项决定后一项