6.1 Angles in All Four Quadrants

单位圆的概念

You can use a unit circle with its centre at the origin to help you understand the trigonometric ratios.

你可以使用以原点为圆心的单位圆来帮助你理解三角函数比值。

定义：单位圆

单位圆是一个以原点为圆心、半径为1个单位的圆。

A unit circle is a circle with a radius of 1 unit.

对于单位圆上的一点 \( P(x, y) \)，使得 \( OP \) 与正x轴成角度 \( \theta \)：

\( \cos \theta = x = \) P点的x坐标

\( \sin \theta = y = \) P点的y坐标

\( \tan \theta = \frac{y}{x} = \) OP的斜率

For a point \( P(x, y) \) on a unit circle such that \( OP \) makes an angle \( \theta \) with the positive x-axis:

对于单位圆上的一点 \( P(x, y) \)，使得 \( OP \) 与正x轴成角度 \( \theta \)：

重要提示

你可以使用这些定义来找到任意角度 \( \theta \) 的正弦、余弦和正切值。正角度 \( \theta \) 总是从正x轴开始逆时针测量。

四个象限的性质

四个象限示意图

xy平面被分为四个象限：

第二象限 (90° < θ < 180°) | 第一象限 (0° < θ < 90°)

第三象限 (180° < θ < 270°) | 第四象限 (270° < θ < 360°)

CAST规则

你可以使用象限来确定每个三角函数比值是正还是负：

S A

T C

Sine (正弦) - 第二象限为正

All (全部) - 第一象限全部为正

Tangent (正切) - 第三象限为正

Cosine (余弦) - 第四象限为正

各象限中三角函数值的正负性

When \( \theta \) is obtuse, \( \cos \theta \) is negative because the x-coordinate of \( P \) is negative.

当 \( \theta \) 是钝角时，\( \cos \theta \) 是负的，因为 \( P \) 的x坐标是负的。

第一象限 (0° < θ < 90°): sin θ > 0, cos θ > 0, tan θ > 0

第二象限 (90° < θ < 180°): sin θ > 0, cos θ < 0, tan θ < 0

第三象限 (180° < θ < 270°): sin θ < 0, cos θ < 0, tan θ > 0

第四象限 (270° < θ < 360°): sin θ < 0, cos θ > 0, tan θ < 0

特殊角度的三角函数值

例题

写出以下各式的值：

a) sin 90° b) sin 180° c) sin \(\frac{3\pi}{2}\) d) sin \(-\frac{\pi}{2}\)

e) cos 180° f) cos \(-90°\) g) cos \(3\pi\) h) cos \(5\pi\)

a) sin 90° = 1

b) sin 180° = 0

c) sin \(\frac{3\pi}{2}\) = -1

d) sin \(-\frac{\pi}{2}\) = -1

e) cos 180° = -1

f) cos \(-90°\) = 0

g) cos \(3\pi\) = -1

h) cos \(5\pi\) = -1

The y-coordinate is 1 when \( \theta = 90° \) or \( \frac{\pi}{2} \)

当 \( \theta = 90° \) 或 \( \frac{\pi}{2} \) 时，y坐标为1

负角度

如果 \( \theta \) 是负的，那么从正x轴开始顺时针测量。

角度 \(-90°\) 等价于正角度 \(270°\)。

正切值的计算

写出以下各式的值：

a) tan 45° b) tan 135° c) tan 225°

d) tan \(-\frac{\pi}{4}\) e) tan \(\pi\) f) tan \(\frac{\pi}{2}\)

a) tan 45° = 1

b) tan 135° = -1

c) tan 225° = 1

d) tan \(-\frac{\pi}{4}\) = tan \(\frac{7\pi}{4}\) = -1

e) tan \(\pi\) = 0

f) tan \(\frac{\pi}{2}\) = 未定义

正切函数的未定义值

当 \( \theta = \frac{\pi}{2} \) 或任何其他 \( \frac{\pi}{2} \) 的奇数倍时，\( \tan \theta \) 未定义。

这些 \( \theta \) 值对应于 \( y = \tan \theta \) 图上的渐近线。

角度变换规则

你可以使用这些规则来找到任意正角度或负角度的sin、cos或tan值，使用与x轴形成的对应锐角 \( \theta \)：

角度变换公式

\( \sin(180° - \theta) = \sin \theta \)

\( \cos(180° - \theta) = -\cos \theta \)

\( \tan(180° - \theta) = -\tan \theta \)

\( \sin(180° + \theta) = -\sin \theta \)

\( \cos(180° + \theta) = -\cos \theta \)

\( \tan(180° + \theta) = \tan \theta \)

\( \sin(360° - \theta) = -\sin \theta \)

\( \cos(360° - \theta) = \cos \theta \)

\( \tan(360° - \theta) = -\tan \theta \)

例题：第二象限的性质

求第二象限中 \( \sin \theta \)、\( \cos \theta \) 和 \( \tan \theta \) 的符号。

解答：

在第二象限中，\( \theta \) 是钝角，或 \( 90° < \theta < 180° \)（以度为单位）或 \( \frac{\pi}{2} < \theta < \pi \)（以弧度为单位）。

在第二象限中，由于x为负，y为正：

\( \sin \theta = +ve \)

\( \cos \theta = -ve \)

\( \tan \theta = \frac{+ve}{-ve} = -ve \)

所以只有 \( \sin \theta \) 是正的。

三角函数的周期性质

The point \( P \) corresponding to an angle is the same as the point \( P \) corresponding to an angle \( \theta + 2\pi \). This shows you that the graphs of \( y = \sin \theta \) and \( y = \cos \theta \) are periodic with period of \( 2\pi \).

对应于角度 \( \theta \) 的点 \( P \) 与对应于角度 \( \theta + 2\pi \) 的点 \( P \) 相同。这表明 \( y = \sin \theta \) 和 \( y = \cos \theta \) 的图是周期为 \( 2\pi \) 的周期函数。

周期性

角度可能超出 \( 0° - 360° \) 的范围，但它们总是位于四个象限之一中。

例如，角度 \( 600° \) 等价于 \( 600° - 360° = 240° \)，所以它位于第三象限。