6.2 Exact Values of Trigonometrical Ratios

核心知识点

The exact values of trigonometric ratios for 30°, 45°, and 60° angles are fundamental in trigonometry.

30°、45°、60°角的三角函数精确值是三角学的基础。

1. 三角函数精确值表

角度	弧度	sin θ	cos θ	tan θ
30°	π/6	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
45°	π/4	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	1
60°	π/3	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\sqrt{3}\)

几何推导方法

等边三角形法（30°和60°）

Use an equilateral triangle with side length 2. Draw a perpendicular from one vertex to the opposite side.

使用边长为2的等边三角形。从一个顶点向对边作垂线。

等边三角形ABC，边长AB = BC = AC = 2
AD是BC边上的高，BD = DC = 1
由勾股定理：AD = √3
在直角三角形ABD中：∠BAD = 30°，∠ABD = 60°

等腰直角三角形法（45°）

Use an isosceles right-angled triangle with equal sides of length 1.

使用两腰长为1的等腰直角三角形。

等腰直角三角形PQR，PQ = RQ = 1
∠P = ∠R = 45°，∠Q = 90°
由勾股定理：PR = √2
在三角形PQR中：∠P = ∠R = 45°

记忆技巧

正弦值记忆法

30°：sin 30° = 1/2（最小）
45°：sin 45° = √2/2（中等）
60°：sin 60° = √3/2（最大）

规律：角度越大，正弦值越大

余弦值记忆法

30°：cos 30° = √3/2（最大）
45°：cos 45° = √2/2（中等）
60°：cos 60° = 1/2（最小）

规律：角度越大，余弦值越小

正切值记忆法

30°：tan 30° = √3/3 ≈ 0.577
45°：tan 45° = 1
60°：tan 60° = √3 ≈ 1.732

规律：角度越大，正切值越大

重要公式

30°角的三角函数值

\(\sin 30° = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\)

\(\cos 30° = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\tan 30° = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

45°角的三角函数值

\(\sin 45° = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos 45° = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\tan 45° = \tan \frac{\pi}{4} = 1\)

60°角的三角函数值

\(\sin 60° = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cos 60° = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\)

\(\tan 60° = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\)

关键要点

几何理解

等边三角形是推导30°和60°三角函数值的基础
等腰直角三角形是推导45°三角函数值的基础
勾股定理在计算边长时起关键作用
几何图形的对称性简化了计算过程

计算技巧

先确定目标角所在的象限
找到与x轴形成的锐角
使用30°、45°、60°的精确值
根据象限确定符号
应用相应的三角恒等式

应用场景

解三角方程时提供精确解
计算其他角的三角函数值
验证三角恒等式的正确性
简化复杂的三角函数表达式

应用技巧

求其他角的三角函数值

Use these exact values to find trigonometric ratios of other angles by applying quadrant rules and trigonometric identities.

使用这些精确值，通过应用象限规律和三角恒等式来求其他角的三角函数比。

解题步骤：

确定象限：判断目标角所在的象限
找锐角：找到与x轴形成的锐角
查表：使用30°、45°、60°的精确值
定符号：根据象限确定三角函数值的符号
应用恒等式：使用相应的三角恒等式

常见错误避免

不要混淆正弦和余弦值的对应关系
注意象限对三角函数值符号的影响
记住tan 90°和tan 270°是未定义的
在弧度制中要正确转换角度