6.2 Exact Values of Trigonometrical Ratios

You can find sin, cos and tan of 30°/π/6, 45°/π/4 and 60°/π/3 exactly using triangles.

你可以使用三角形来精确求出30°、45°、60°角的正弦、余弦和正切值。

1. 等边三角形的应用 (Equilateral Triangle)

Consider an equilateral triangle ABC of side 2 units. Draw a perpendicular from A to meet BC at D. Apply the trigonometric ratios in the right-angled triangle ABD.

考虑一个边长为2单位的等边三角形ABC。从A点作垂线交BC于D点。在直角三角形ABD中应用三角函数比。

几何构造说明

在等边三角形ABC中：

AB = BC = AC = 2
∠A = ∠B = ∠C = 60°
AD是BC边上的高，也是角平分线和中线
BD = DC = 1
AD = √3（由勾股定理得出）

30°角的三角函数值

在直角三角形ABD中，∠BAD = 30°：

\(\sin 30° = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\)

\(\cos 30° = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\tan 30° = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

60°角的三角函数值

在同一个直角三角形ABD中，∠ABD = 60°：

\(\sin 60° = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cos 60° = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\)

\(\tan 60° = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\)

2. 等腰直角三角形的应用 (Isosceles Right-angled Triangle)

Consider an isosceles right-angled triangle PQR with PQ = RQ = 1 unit.

考虑一个等腰直角三角形PQR，其中PQ = RQ = 1单位。

几何构造说明

在等腰直角三角形PQR中：

PQ = RQ = 1
∠P = ∠R = 45°
∠Q = 90°
PR = √2（由勾股定理得出）

45°角的三角函数值

在等腰直角三角形PQR中：

\(\sin 45° = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos 45° = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\tan 45° = \tan \frac{\pi}{4} = 1\)

3. 三角函数精确值表

角度	弧度	sin θ	cos θ	tan θ
30°	π/6	1/2	√3/2	√3/3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3

4. 例题解析

例题1

Find the exact value of sin(-210°).

求sin(-210°)的精确值。

将-210°转换为正角：-210° = 360° - 210° = 150°

150°在第二象限，使用恒等式：sin(180° - θ) = sin θ

sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2

因此，sin(-210°) = sin 150° = 1/2

例题2

Find the exact value of tan(7π/4).

求tan(7π/4)的精确值。

7π/4 = 2π - π/4，在第四象限

在第四象限，tan为负值

tan(7π/4) = tan(2π - π/4) = -tan(π/4) = -1

重要提示

1. 记忆这些精确值时，可以借助几何图形的直观理解

2. 30°-60°-90°三角形和45°-45°-90°三角形是基础

3. 利用象限的符号规律来确定三角函数值的正负

4. 这些精确值在解三角方程时非常重要

5. 应用技巧

You can use these exact values to find trigonometric ratios of other angles by using the quadrant rules and trigonometric identities.

你可以使用这些精确值，通过象限规律和三角恒等式来求其他角的三角函数比。

确定目标角所在的象限

找到与x轴形成的锐角

使用30°、45°、60°的精确值

根据象限确定符号

应用相应的三角恒等式