练习题
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求函数 \(f(x)\) 为增函数的 \(x\) 值，已知 \(f(x)\) 等于：
a) \(3x^2 + 8x + 2\)
b) \(4x - 3x^2\)
c) \(5 - 8x - 2x^2\)
d) \(2x^3 - 15x^2 + 36x\)
1. 先求导数 \(f'(x)\)
2. 解不等式 \(f'(x) > 0\) 或 \(f'(x) \geq 0\)
3. 注意二次函数的开口方向
求函数 \(f(x)\) 为减函数的 \(x\) 值，已知 \(f(x)\) 等于：
a) \(x^2 - 9x\)
b) \(5x - x^2\)
c) \(4 - 2x - x^2\)
d) \(2x^3 - 3x^2 - 12x\)
1. 先求导数 \(f'(x)\)
2. 解不等式 \(f'(x) < 0\) 或 \(f'(x) \leq 0\)
3. 对于三次函数，可能需要因式分解
证明函数 \(f(x) = 4 - x(2x^2 + 3)\) 对所有 \(x \in \mathbb{R}\) 都是减函数。
提示：先化简函数表达式，然后求导数。
1. 先化简：\(f(x) = 4 - x(2x^2 + 3) = 4 - 2x^3 - 3x\)
2. 求导数：\(f'(x) = -6x^2 - 3\)
3. 分析导数的符号：\(-6x^2 - 3 \leq -3 < 0\)
a) 已知函数 \(f(x) = x^2 + px\) 在区间 \([-1,1]\) 上是增函数，求 \(p\) 的一个可能值。
b) 说明这是否是 \(p\) 的唯一可能值。
1. 求导数：\(f'(x) = 2x + p\)
2. 在区间 \([-1,1]\) 上，\(f'(x) \geq 0\)
3. 即 \(2x + p \geq 0\) 对所有 \(x \in [-1,1]\)
4. 考虑端点：\(f'(-1) = -2 + p \geq 0\) 和 \(f'(1) = 2 + p \geq 0\)
a) \(f(x) = 3x^2 + 8x + 2\)，\(f'(x) = 6x + 8\)
当 \(f'(x) > 0\) 时，\(6x + 8 > 0\)，即 \(x > -\frac{4}{3}\)
所以函数在 \((-\frac{4}{3}, +\infty)\) 上递增
b) \(f(x) = 4x - 3x^2\)，\(f'(x) = 4 - 6x\)
当 \(f'(x) > 0\) 时，\(4 - 6x > 0\)，即 \(x < \frac{2}{3}\)
所以函数在 \((-\infty, \frac{2}{3})\) 上递增
c) \(f(x) = 5 - 8x - 2x^2\)，\(f'(x) = -8 - 4x\)
当 \(f'(x) > 0\) 时，\(-8 - 4x > 0\)，即 \(x < -2\)
所以函数在 \((-\infty, -2)\) 上递增
d) \(f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x\)，\(f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 = 6(x-2)(x-3)\)
当 \(f'(x) > 0\) 时，\(x < 2\) 或 \(x > 3\)
所以函数在 \((-\infty, 2)\) 和 \((3, +\infty)\) 上递增
对于二次函数，通过求导数并分析导数的符号来确定单调区间。对于三次函数，需要因式分解导数表达式。
a) \(f(x) = x^2 - 9x\)，\(f'(x) = 2x - 9\)
当 \(f'(x) < 0\) 时，\(2x - 9 < 0\)，即 \(x < \frac{9}{2}\)
所以函数在 \((-\infty, \frac{9}{2})\) 上递减
b) \(f(x) = 5x - x^2\)，\(f'(x) = 5 - 2x\)
当 \(f'(x) < 0\) 时，\(5 - 2x < 0\)，即 \(x > \frac{5}{2}\)
所以函数在 \((\frac{5}{2}, +\infty)\) 上递减
c) \(f(x) = 4 - 2x - x^2\)，\(f'(x) = -2 - 2x\)
当 \(f'(x) < 0\) 时，\(-2 - 2x < 0\)，即 \(x > -1\)
所以函数在 \((-1, +\infty)\) 上递减
d) \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x\)，\(f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x-2)(x+1)\)
当 \(f'(x) < 0\) 时，\(-1 < x < 2\)
所以函数在 \((-1, 2)\) 上递减
减函数的判定方法与增函数类似，但需要解不等式 \(f'(x) < 0\)。
\(f(x) = 4 - x(2x^2 + 3) = 4 - 2x^3 - 3x\)
\(f'(x) = -6x^2 - 3\)
由于 \(x^2 \geq 0\) 对所有实数 \(x\) 成立，所以 \(-6x^2 \leq 0\)
因此 \(f'(x) = -6x^2 - 3 \leq -3 < 0\) 对所有实数 \(x\) 成立
所以函数 \(f(x)\) 对所有实数 \(x\) 都是减函数。
要证明函数在整个实数域上都是减函数，需要证明导数在所有实数上都小于或等于零。
a) \(f(x) = x^2 + px\)，\(f'(x) = 2x + p\)
在区间 \([-1,1]\) 上，\(f'(x) \geq 0\)
即 \(2x + p \geq 0\) 对所有 \(x \in [-1,1]\)
考虑端点：\(f'(-1) = -2 + p \geq 0\)，所以 \(p \geq 2\)
\(f'(1) = 2 + p \geq 0\)，所以 \(p \geq -2\)
因此 \(p \geq 2\)，取 \(p = 2\) 是一个可能值。
b) 这不是唯一值。任何 \(p \geq 2\) 的值都满足条件。
对于参数问题，需要分析导数在给定区间上的符号，通过端点分析来确定参数的取值范围。