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你可以使用导数来确定函数在给定区间内是增函数还是减函数。这是微积分中的一个重要应用，通过分析导数的符号来判断函数的单调性。
增函数：函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上是增函数，如果 \(f'(x) \geq 0\) 对所有满足 \(a < x < b\) 的 \(x\) 值成立。
减函数：函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上是减函数，如果 \(f'(x) \leq 0\) 对所有满足 \(a < x < b\) 的 \(x\) 值成立。
如果 \(f'(x) > 0\) 对区间内所有值成立，则函数被称为严格增函数。
在考试中，如果需要证明函数是增函数或减函数，可以使用严格或非严格不等式。
增函数：\(f'(x) \geq 0\) 对所有 \(a < x < b\)
减函数：\(f'(x) \leq 0\) 对所有 \(a < x < b\)
单调性判定的基本条件
题目：证明函数 \(f(x) = x^3 + 24x + 3\) 对所有实数 \(x\) 都是增函数。
解答：
首先求导数：\(f'(x) = 3x^2 + 24\)
由于 \(x^2 \geq 0\) 对所有实数 \(x\) 成立
所以 \(3x^2 + 24 \geq 24 > 0\) 对所有实数 \(x\) 成立
因此，\(f(x)\) 对所有实数 \(x\) 都是增函数。
题目：分析函数 \(f(x) = x^4 - 2x^2\) 的单调性。
解答：
求导数：\(f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)\)
分析导数的符号：
• 当 \(x < -1\) 时，\(f'(x) < 0\)，函数递减
• 当 \(-1 < x < 0\) 时，\(f'(x) > 0\)，函数递增
• 当 \(0 < x < 1\) 时，\(f'(x) < 0\)，函数递减
• 当 \(x > 1\) 时，\(f'(x) > 0\)，函数递增
因此，函数在区间 \([-1,0]\) 上递增，在区间 \([0,1]\) 上递减。
区间 \([a, b]\) 表示满足 \(a \leq x \leq b\) 的所有实数 \(x\) 的集合。在分析函数单调性时，要特别注意区间的端点。
导数的几何意义是函数图像在该点处的切线斜率。这个几何意义帮助我们理解为什么导数的符号能够反映函数的单调性。
• 当 \(f'(x) > 0\) 时，切线向上倾斜，函数图像在该点附近上升
• 当 \(f'(x) < 0\) 时，切线向下倾斜，函数图像在该点附近下降
• 当 \(f'(x) = 0\) 时，切线水平，函数图像在该点可能有极值
题目：函数 \(f(x) = x^3 + x\) 对所有实数 \(x\) 都是增函数。
分析：
导数：\(f'(x) = 3x^2 + 1\)
由于 \(3x^2 \geq 0\) 且 \(1 > 0\)，所以 \(f'(x) = 3x^2 + 1 \geq 1 > 0\)
这意味着函数图像上每一点的切线都向上倾斜，因此函数在整个定义域上都是增函数。
通过本节的学习，你应该能够：