练习题
请完成以下题目，必要时使用二阶导或左右梯度法。提示可展开，参考答案见页面底部。
求下列函数的最小值：
a) \(f(x)=x^{2}-12x+8\) b) \(f(x)=x^{2}-8x-1\) c) \(f(x)=5x^{2}+2x\)
令 \(f'(x)=0\) 得驻点，再以 \(f''(x)>0\) 判极小。
求下列函数的最大值：
a) \(f(x)=10-5x^{2}\) b) \(f(x)=3+2x-x^{2}\) c) \(f(x)=(6+x)(1-x)\)
二次函数可配方；或用一阶导零点与二阶导符号判定。
求梯度为零点的坐标并判定性质：
a) \(y=4x^{2}+6x\) b) \(y=9+x-x^{2}\) c) \(y=x^{3}-x^{2}-x+1\)
d) \(y=x(x^{2}-4x-3)\) e) \(y=x+\tfrac{1}{x}\) f) \(y=x^{2}+\tfrac{54}{x}\)
g) \(y=x-3\sqrt{x}\) h) \(y=x^{\tfrac{1}{2}}(x-6)\) i) \(y=x^{4}-12x^{2}\)
注意定义域（如 e,f,g,h），必要时分段分析；\(f''(x)\) 更高效。
a) 驻点 \(x=6\)，\(f(6)=-28\)，极小。
b) 驻点 \(x=4\)，\(f(4)=-9\)，极小。
c) 驻点 \(x=-\tfrac{1}{5}\)，\(f(-\tfrac{1}{5})= -\tfrac{1}{5}\)，极小。
a) 顶点在 \(x=0\)，\(f(0)=10\)，极大。
b) 顶点在 \(x=1\)，\(f(1)=4\)，极大。
c) 展开配方或求导，顶点在 \(x=\tfrac{5}{2}\)，\(f=\tfrac{49}{4}\)，极大。
示例：i) \(y'=4x^{3}-24x=4x(x-\!\,\!\,\!\,6)(x+\!\,\!\,\!\,6)\) 得 \(x=0,\pm \sqrt{6}\)；\(y''=12x^{2}-24\) 判定：\(x=0\) 极大，\(x=\pm\sqrt{6}\) 极小。