6.2 Finding the Cumulative Distribution Function for a Discrete Random Variable

6.2.1 核心概念总结 / Core Concepts Summary

累积分布函数定义：

累积分布函数 \(F(x)\) 定义为随机变量 \(X\) 小于或等于 \(x\) 的概率：

\[F(x) = P(X \leq x)\]

对于离散随机变量，累积分布函数可以表示为概率质量函数的累积和：

\[F(x) = \sum_{k \leq x} P(X = k)\]

累积分布函数的基本性质：

Basic Properties of Cumulative Distribution Function:

非递减性：当 \(x_1 < x_2\) 时，\(F(x_1) \leq F(x_2)\)。Non-decreasing: When \(x_1 < x_2\), \(F(x_1) \leq F(x_2)\).
范围性：对所有实数 \(x\)，\(0 \leq F(x) \leq 1\)。Boundedness: For all real numbers \(x\), \(0 \leq F(x) \leq 1\).
极限性质：\(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\)，\(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\)。Limit Properties: \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\), \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\).
右连续性：累积分布函数在每个点都是右连续的。Right-continuity: The cumulative distribution function is right-continuous at every point.

从概率质量函数构造累积分布函数的步骤：

Steps for Constructing CDF from PMF:

确定所有可能取值：列出随机变量能取的所有可能值，通常按升序排列。Identify all possible values: List all possible values that the random variable can take, usually in ascending order.
计算每个值的概率：使用概率质量函数计算每个可能值的概率。Calculate probability for each value: Use the probability mass function to calculate the probability for each possible value.
累积求和：从最小的可能值开始，对每个 \(x\) 值，计算所有小于或等于该值的概率之和。Cumulative summation: Starting from the smallest possible value, for each \(x\) value, calculate the sum of probabilities of all values less than or equal to that value.
定义分段函数：将累积分布函数表示为分段函数的形式。Define piecewise function: Express the cumulative distribution function as a piecewise function.

构造示例 / Construction Example：

对于掷硬币随机变量 \(X\)（取值0,1,2，各概率0.25,0.5,0.25），累积分布函数为：

\[F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 0.25 & 0 \leq x < 1 \\ 0.75 & 1 \leq x < 2 \\ 1 & x \geq 2 \end{cases}\]

1. 基本概率计算

1. Basic Probability Calculation

\[P(X \leq x) = F(x)\]

\[P(X > x) = 1 - F(x)\]

\[P(X < x) = F(x-) = \lim_{t \to x^-} F(t)\]

2. 区间概率计算

2. Interval Probability Calculation

\[P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)\]

\[P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a-)\]

\[P(a < X < b) = F(b-) - F(a)\]

注意 / Note：

对于离散随机变量，\(P(X = x) = F(x) - F(x-)\)，其中 \(F(x-)\) 表示 \(x\) 处的左极限。

For discrete random variables, \(P(X = x) = F(x) - F(x-)\), where \(F(x-)\) is the left limit at \(x\).

6.2.4.1 两点分布 / Bernoulli-like Distribution

对于两枚硬币实验，累积分布函数如教材示例所示。

6.2.4.2 参数化分布 / Parameterized Distribution

对于形如 \(F(x) = \frac{x + k}{8}\) 的分布，可以通过边界条件求解参数。

\[F(x) = \frac{x + k}{8}, \quad x = 1, 2, 3\]

计算技巧 / Calculation Tips：

累积分布函数是阶梯函数，在可能取值点处跳跃。
The cumulative distribution function is a step function that jumps at possible values.
利用累积分布函数可以方便地计算各种复杂的概率表达式。
The cumulative distribution function can be used to easily calculate various complex probability expressions.
对于离散随机变量，不进行插值计算。
For discrete random variables, do not interpolate.
累积分布函数与生存函数（1 - F(x)）互为补集。
The cumulative distribution function and survival function (1 - F(x)) are complementary.

常见错误提醒 / Common Mistakes Reminder：

不要混淆严格不等式和非严格不等式的概率。
Do not confuse probabilities of strict and non-strict inequalities.
在计算累积概率时，确保不遗漏任何小于等于x的可能值。
When calculating cumulative probabilities, ensure no possible values less than or equal to x are missed.
记住离散随机变量累积分布函数的右连续性。
Remember the right-continuity of the cumulative distribution function for discrete random variables.

离散随机变量累积分布函数知识体系：

核心概念	构造方法	性质特点	应用领域
• 累积分布函数定义 • 概率质量函数关系 • 阶梯函数特征	• 确定可能取值 • 计算概率质量 • 累积求和 • 分段函数表示	• 非递减性 • 范围[0,1] • 极限性质 • 右连续性	• 概率计算 • 风险评估 • 统计检验 • 质量控制