5.4 Geometric Series - 知识点总结

基本概念

等比数列求和是指将等比数列的前n项相加的过程，记作 \(S_n\)。

例如：等比数列 3, 6, 12, 24, ... 的求和为 \(3 + 6 + 12 + 24 + ...\)。

\[S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\]

其中：\(a\) 是首项，\(r\) 是公比，\(n\) 是项数

\[S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\]

其中：\(a\) 是首项，\(r\) 是公比，\(n\) 是项数

\[S_n = na\]

此时数列为常数列，每一项都等于首项 \(a\)

写出等比数列的前n项和：\(S_n = a + ar + ar^2 + ... + ar^{n-1}\)
将等式两边同时乘以公比 \(r\)：\(rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n\)
将两个等式相减：\(S_n - rS_n = a - ar^n\)
提取公因子：\(S_n(1 - r) = a(1 - r^n)\)
因此：\(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\)

错位相减法的关键在于将和式乘以公比后相减，使得中间项相互抵消，从而简化计算。

在使用公式时，要特别注意公比 \(r\) 的值。当 \(r = 1\) 时，公式不适用，需要使用特殊公式 \(S_n = na\)。

题目：求等比数列 \(1024 - 512 + 256 - 128 + ... + 1\) 的和
识别：首项 \(a = 1024\)，公比 \(r = -\frac{1}{2}\)
求项数：\(1024(-\frac{1}{2})^{n-1} = 1\)，得 \(n = 11\)
选择公式：因为 \(|r| < 1\)，使用 \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\)
计算：\(S_{11} = \frac{1024(1 - (-\frac{1}{2})^{11})}{1 - (-\frac{1}{2})} = 1366\)

1. 混淆首项和第一项：首项是 \(a\)，第一项是 \(a\)，第二项是 \(ar\)

2. 公比计算错误：公比 \(r = \frac{a_2}{a_1}\)，要注意符号

3. 公式选择不当：要根据 \(|r|\) 的大小选择合适的公式

4. 忽略特殊情况：当 \(r = 1\) 时，不能使用一般公式