教材内容
等比数列求和是数列与级数的重要内容。等比数列求和是指将等比数列的前n项相加的过程。通过本节的学习，我们将掌握等比数列求和公式的推导过程，并能够熟练运用公式解决实际问题。
等比数列求和：将等比数列的前n项相加的过程，记作 \(S_n\)。
等比数列：3, 6, 12, 24, ... 是一个等比数列。
等比数列求和：\(3 + 6 + 12 + 24 + ...\) 是一个等比数列求和。
等比数列求和公式：
当 \(r \neq 1\) 时：
\[S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\]
或
\[S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\]
其中：
• \(a\) 是首项
• \(r\) 是公比
• \(n\) 是项数
• \(S_n\) 是前n项的和
题目：证明等比数列前n项的和公式 \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\)。
解答：
设等比数列的首项为 \(a\)，公比为 \(r\)，则：
\(S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^{n-2} + ar^{n-1}\) (1)
将等式两边同时乘以 \(r\)：
\(rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ... + ar^{n-1} + ar^n\) (2)
将(1)减去(2)：
\(S_n - rS_n = a - ar^n\)
\(S_n(1 - r) = a(1 - r^n)\)
\[S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\]
这就是等比数列求和公式。
公式选择原则：
当 \(r < 1\) 时，使用 \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\)
当 \(r > 1\) 时，使用 \(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\)
这样可以避免负数的出现，使计算更简便
题目：求等比数列 \(2 + 6 + 18 + 54 + ...\) 的前10项和。
解答：
首项 \(a = 2\)，公比 \(r = \frac{6}{2} = 3\)，项数 \(n = 10\)
因为 \(r > 1\)，使用公式：\(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\)
\(S_{10} = \frac{2(3^{10} - 1)}{3 - 1}\)
\(S_{10} = \frac{2(59049 - 1)}{2}\)
\(S_{10} = \frac{2 \times 59048}{2} = 59048\)
题目：求等比数列 \(1024 - 512 + 256 - 128 + ... + 1\) 的和。
解答：
首项 \(a = 1024\)，公比 \(r = \frac{-512}{1024} = -\frac{1}{2}\)
先求项数：末项为1，所以 \(1024(-\frac{1}{2})^{n-1} = 1\)
\((-\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{1024}\)
\((\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{1024}\)
\(2^{n-1} = 1024 = 2^{10}\)
所以 \(n-1 = 10\)，即 \(n = 11\)
因为 \(|r| < 1\)，使用公式：\(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\)
\(S_{11} = \frac{1024(1 - (-\frac{1}{2})^{11})}{1 - (-\frac{1}{2})}\)
\(S_{11} = \frac{1024(1 + \frac{1}{2048})}{\frac{3}{2}}\)
\(S_{11} = \frac{1024 \times \frac{2049}{2048}}{\frac{3}{2}} = \frac{2049}{\frac{3}{2}} = \frac{4098}{3} = 1366\)
题目：求使等比数列 \(1 + 2 + 4 + 8 + ...\) 的和超过2000000的最少项数。
解答：
首项 \(a = 1\)，公比 \(r = 2\)
使用公式：\(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1\)
要使 \(S_n > 2000000\)，即 \(2^n - 1 > 2000000\)
\(2^n > 2000001\)
两边取对数：\(n\log 2 > \log(2000001)\)
\(n > \frac{\log(2000001)}{\log 2} \approx 20.9\)
因为n必须是正整数，所以需要21项。
在使用等比数列求和公式时，要特别注意公比 \(r\) 的值。当 \(r = 1\) 时，公式不适用，此时数列为常数列，前n项和为 \(na\)。
通过本节的学习，你应该能够：