典型例题与详细解题步骤
以下数据显示了英国剑桥附近一个小村庄5月前15天的日均风速(w，单位：节)和日最大阵风(g，单位：节)：
| w | 14 | 13 | 13 | 9 | 18 | 18 | 7 | 15 | 10 | 14 | 11 | 9 | 8 | 10 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| g | 33 | 37 | 29 | 23 | 43 | 38 | 17 | 30 | 28 | 29 | 29 | 23 | 21 | 28 | 20 |
g对w的回归线方程为：\[g = 7.23 + 1.82w\]
a) 描述日均风速和日最大阵风之间的相关性
b) 解释回归线斜率的含义
c) 证明在这种情况下使用线性回归线是合理的
通过观察数据和回归线方程，我们可以分析相关性：
斜率b = 1.82的含义是：
当日均风速每增加1节时，日最大阵风平均增加约1.82节
更具体地说：
使用线性回归线合理的原因：
一项研究记录了8名新生儿的怀孕期(x，单位：周)和头围(y，单位：厘米)数据，y对x的回归线方程为：\[y = 8.91 + 0.624x\]
该回归方程用于估计怀孕39周和30周出生的婴儿的头围
a) 评论这些估计的可靠性
b) 解释为什么上述回归方程不适合用来估计头围为31.6厘米的婴儿的怀孕期
首先，我们需要理解这是关于内插法和外推法的问题：
注意：在实际应用中，我们应首先检查原始数据中怀孕期的实际范围，以确认30周是否真的在范围之外。
该回归方程不适合用来估计头围为31.6厘米的婴儿的怀孕期，原因如下：
正确方法：计算x对y的回归线 x = c + dy
研究了不同质量的物体悬挂在弹簧上时弹簧的长度，数据如下：
| 质量(kg), x | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| 长度(cm), y | 33 | 42 | 48 | 56 | 63 |
a) 计算y对x的回归线方程
b) 解释斜率的含义
c) 预测当悬挂6kg物体时弹簧的长度
要计算y对x的回归线方程y = a + bx，需要计算以下统计量：
1. 计算平均值：\(\bar{x}\) 和 \(\bar{y}\)
\(\bar{x} = (2 + 4 + 5 + 7 + 8)/5 = 26/5 = 5.2\) kg
\(\bar{y} = (33 + 42 + 48 + 56 + 63)/5 = 242/5 = 48.4\) cm
2. 计算\(S_{xx}\) 和 \(S_{xy}\)
\(S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2\)
= (2-5.2)² + (4-5.2)² + (5-5.2)² + (7-5.2)² + (8-5.2)²
= 10.24 + 1.44 + 0.04 + 3.24 + 7.84 = 22.8
\(S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\)
= (2-5.2)(33-48.4) + (4-5.2)(42-48.4) + (5-5.2)(48-48.4) + (7-5.2)(56-48.4) + (8-5.2)(63-48.4)
= (-3.2)(-15.4) + (-1.2)(-6.4) + (-0.2)(-0.4) + (1.8)(7.6) + (2.8)(14.6)
= 49.28 + 7.68 + 0.08 + 13.68 + 40.88 = 111.6
3. 计算斜率b和截距a
\(b = S_{xy} / S_{xx} = 111.6 / 22.8 ≈ 4.89\)
\(a = \bar{y} - b\bar{x} = 48.4 - 4.89 × 5.2 ≈ 48.4 - 25.43 ≈ 22.97\)
因此，回归线方程为：\[y ≈ 23.0 + 4.89x\]
斜率b ≈ 4.89的含义是：
当悬挂的质量每增加1千克时，弹簧长度平均增加约4.89厘米
这个值在物理上代表了弹簧的劲度系数的倒数，可以用来描述弹簧的弹性特性。
当质量x = 6kg时：
\[y = 23.0 + 4.89 × 6 ≈ 23.0 + 29.34 ≈ 52.34\] cm
因此，当悬挂6kg物体时，弹簧的预测长度约为52.3厘米。
可靠性分析：6kg在原始数据范围（2kg到8kg）内，因此这是一个内插预测，较为可靠。