巩固知识，提升应用能力
以下数据显示了某地区10名学生的学习时间（小时）和考试成绩：
| 学习时间(h) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 考试成绩 | 56 | 62 | 68 | 71 | 75 | 79 | 83 | 87 | 90 | 94 |
a) 如果成绩对时间的回归方程为\[y = 50 + 4x\]，请解释斜率的含义
b) 根据回归方程，预测学习时间为12小时的学生的考试成绩
c) 评论这个预测的可靠性
a) 斜率b = 4表示：每增加1小时的学习时间，考试成绩平均提高4分。
b) 当x = 12小时时：
c) 可靠性分析：
一项研究调查了汽车行驶速度（km/h）和燃油消耗率（L/100km）的关系，得到回归方程：\[\text{燃油消耗率} = 5 + 0.05 \times \text{速度}\]
a) 解释方程中各系数的含义
b) 预测速度为80 km/h时的燃油消耗率
c) 如果两辆汽车的行驶速度相差20 km/h，预测它们的燃油消耗率相差多少？
a) 系数解释：
b) 当速度为80 km/h时：
c) 速度相差20 km/h时的燃油消耗率差异：
下表显示了某公司每月的广告支出（千元）和销售额（万元）数据：
| 广告支出(千元) | 销售额(万元) |
|---|---|
| 10 | 12 |
| 15 | 18 |
| 20 | 22 |
| 25 | 26 |
| 30 | 30 |
a) 计算销售额对广告支出的回归线方程
b) 解释斜率的含义
c) 如果公司计划在一个月内投入22千元的广告费用，预测销售额
a) 计算回归线方程y = a + bx：
计算步骤：
b) 斜率b = 0.92表示：广告支出每增加1千元，销售额平均增加0.92万元。
c) 当广告支出x = 22千元时：
一位研究人员记录了7名儿童的年龄（岁）和体重（千克）数据，得到回归方程：\[\text{体重} = 3.5 + 2.8 \times \text{年龄}\]
a) 预测一个5岁儿童的体重
b) 如果原始数据中儿童的年龄范围是2-8岁，评论预测一个12岁儿童体重的可靠性
c) 解释为什么不能使用这个回归方程预测体重为30千克的儿童的年龄
a) 当年龄x = 5岁时：
b) 预测12岁儿童体重的可靠性分析：
c) 不能反向预测的原因：
下表显示了某工厂生产的产品数量（百件）和生产总成本（千元）数据：
| 产品数量(百件) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 生产成本(千元) | 12 | 18 | 23 | 27 | 32 |
a) 计算生产成本对产品数量的回归线方程
b) 解释截距和斜率的经济含义
c) 工厂计划在下个月生产600件产品，预测生产成本
d) 计算生产一件产品的平均可变成本
a) 计算回归线方程y = a + bx：
计算步骤：
b) 经济含义：
c) 当生产600件产品（即x = 6百件）时：
d) 生产一件产品的平均可变成本：
某研究机构分析了城市人口密度（千人/平方公里）和空气质量指数（AQI）的关系，得到回归方程：\[AQI = 25 + 3.2 \times \text{人口密度}\]
a) 解释这个回归模型的意义
b) 如果两个城市的人口密度相差5千人/平方公里，预测它们的AQI差异
c) 该研究的数据来源于人口密度在10-50千人/平方公里的城市。评论使用该方程预测以下城市AQI的可靠性：
i. 人口密度为35千人/平方公里的城市
ii. 人口密度为80千人/平方公里的城市
d) 从这个回归方程，我们能否得出结论：人口密度增加导致空气质量恶化？为什么？
a) 回归模型的意义：
b) 人口密度相差5千人/平方公里时的AQI差异：
c) 预测可靠性分析：
d) 关于因果关系的结论：